2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．在复平面内，复数 $\mathrm{z}=\frac{2 i}{1-i}$（ $i$ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于

2．已知集合为 R，集合 $A=\left\{x \left\lvert\,\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leq 1\right.\right\}, B=\left\{\mathrm{x} \mid x^{2}-6 x-8 \leq 0\right\}$，则 $A \cap C_{R} B=$ A．$\{x \mid x \leq 0\}$ B．$\{x \mid 2 \leq x \leq 4\}$ $C .\{x \mid 0 \leq x<2$ 或 $\mathrm{x}>4\}$ D．$\{x \mid 0<x \leq 2$ 或 $\mathrm{x} \geq 4\}$

3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。设命题 $p$ 是＂甲降落在指定范围＂，$q$ 是＂乙降落在指定范围＂，则命题＂至少有一位学员没有降落在指定范围＂可表示为

4．将函数 $y=\sqrt{3} \cos x+\sin x(x \in R)$ 的图像向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度后，所得到的图像关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是

5．已知 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 与 $C_{2}: \frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}-\frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta \tan ^{2} \theta}=1$ 的

6．已知点 $\mathrm{A}(-1,1), \mathrm{~B}(1,2), \mathrm{C}(-2,1), \mathrm{D}(3,4)$，则向量 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{C D}$ 方向上的投影为

7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 $v(t)=7-3 t+\frac{25}{1+t}(t$ 的单位：$s, v$ 的单位：$m / s$ ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：$m$ ）是

8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}$，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 $A . V_{1}<V_{2}<V_{4}<V_{3}$ B．$V_{1}<V_{3}<V_{2}<V_{4}$ $C . V_{2}<V_{1}<V_{3}<V_{4}$ D．$V_{2}<V_{3}<V_{1}<V_{4}$  第8题图

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 $\mathrm{E}(\mathrm{X})=$

10．已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$，则

11．从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示。 （1）直方图中 x 的值为 $\_\_\_\_$； （2）在这些用户中，用电量落在区间 $[100,250)$ 内的户数为 $\_\_\_\_$．

12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 $\mathrm{i}=$ $\_\_\_\_$。  第11題图

13．设 $x, y, z \in R$，且满足：$x^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=1, \mathrm{x}+2 y+3 z=\sqrt{14}$，则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=$ $\_\_\_\_$．

14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1,3,6,10, \ldots$，第 n 个三角形数为 $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\frac{1}{2} n$，记第 n 个 k 边形数为 $N(n, k)(k \geq 3)$，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 $\quad N(n, 3)=\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{n}$ 正方形数 $\quad N(n, 4)=n^{2}$ 五边形数 $\quad N(n, 5)=\frac{3}{2} n^{2}-\frac{1}{2} \mathrm{n}$ 六边形数 $\quad N(n, 6)=2 n^{2}-\mathrm{n}$ 可以推测 $\mathrm{N}(\mathrm{n}, \mathrm{k})$ 的表达式，由此计算 $\mathrm{N}(10,24)=$

15．（选修 4－1：几何证明选讲） 如图，圆 $O$ 上一点 $C$ 在直径 $A B$ 上的射影为 $D$，点 $D$ 在半径 $O C$ 上的射影为 $E$．若 $A B=3 A D, \frac{C E}{E O}$ 的值为

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系 $x o y$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \varphi \\ y=b \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数，$a>b>0$ ）。在极坐标系（与直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴为正半轴 为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标分别为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} m$（ $m$ 为非零常数）与 $\rho=b$．若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$．

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$．已知 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$． （I）求角 $A$ 的大小； （II）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=5 \sqrt{3}, b=5$，求 $\sin B \sin C$ 的值．

18．（本小题满分 12 分） 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\left|a_{2}-a_{3}\right|=10, a_{1} a_{2} a_{3}=125$ ． （I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n}}>1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分 12 分） 如图，$A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，直线 $P C \perp$ 平面 $A B C$， $E, F$ 分别为 $P A, P B$ 的中点． （I）记平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$，是判断 $l$ 与平面 $P A C$ 的位置关系，并加以说明； （II）设（I）中的直线 $l$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $D$，且点 $Q$ 满足 $D \vec{Q}=\frac{1}{2} C \vec{P}$．记直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $O$，异面直线所成的锐角为 $o$，二面角 $E-l-C$ 的大小为 $\beta$，求证： $\sin \theta=\sin \alpha \sin \beta$．

20．（本小题满分 12 分） 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N\left(800,50^{2}\right)$ 的随机变量， 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 $P_{n}$． 求 $P_{n}$ 的值； （I）（参考数据：若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$，有 $P(\mu-\sigma<X \leq \mu+\sigma)=0.6826$，） $ P(\mu-2 \sigma<X \leq \mu+2 \sigma)=0.9544, P(\mu-3 \sigma<X \leq \mu+3 \sigma)=0.9974 $ （II）某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次， $A, B$ 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元／辆和 2400元／辆．公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车 7 辆。若每天要以不小于 $P_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆？

21．（本小题满分 13 分） 如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心原点坐标 $O$，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n(m>n)$，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$．记 $\lambda=\frac{m}{n}, \triangle B D M$ 和 $\triangle A B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$． （I）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1}=\lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值； （II）当 $\lambda$ 变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_{1}=\lambda S_{2}$，并说明理由．  第21影图

22．（本小题满分 14 分） 设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数． （I）求函数 $f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1) x-1(x>-1)$ 的最小值； （II）证明：$\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+2}}{r+1}<n^{r}<\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$； （III）设 $x \in R$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2]=2,[\pi]=4,\left[-\frac{3}{2}\right]=1$． 令 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots \cdots+\sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值。 （参考数据： $80^{\frac{4}{3}}=344.7,81^{\frac{4}{3}}=350.5,124^{\frac{4}{3}}=618.3,126^{\frac{4}{3}}=631.7$．）