2013 地方卷 数学

在极坐标系中，圆 $\rho = 2 \cos \theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为(A) $\theta = 0 ( \rho \in \mathbb { R } )$ 和 $\begin{array} { r } { | \rho \cos \theta = 2 } \end{array}$ (B) $\theta = \frac { \pi } { 2 } ( \rho \in \mathbf { R } )$ 和 $\begin{array} { r } { | \rho \cos \theta = 2 } \end{array}$ (C) $\theta = \frac { \pi } { 2 } ( \rho \in \mathbf { R } )$ 和 $\scriptstyle | \rho \cos \theta = 1$ (D) $\theta = 0 ( \rho \in \mathbb { R } )$ 和 $\scriptstyle 1 \rho \cos \theta = 1$

若函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ 有极值点 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$，且 $f { \big ( } x _ { 1 } { \big ) } = x _ { 1 }$，则关于x的方程
$3 ( f ( x ) ) ^ { 2 } + 2 a f ( x ) + b = 0$ 的不同实根个数是

（本小题满分12分）

设函数 $f ( x ) = a x - ( 1 + a ^ { 2 } ) x ^ { 2 }$，其中 $a { > } 0$，区间 $I = \left\{ x | f ( x ) { > } 0 \right\}$

（I）求I的长度（注：区间 $\left( \alpha , ~ \beta \right)$ 的长度定义为 $\beta - \alpha { \bf \alpha } ) ;$

（Ⅱ）给定常数 $k \in \left( 0 , 1 \right)$，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求I长度的最小值.

（本小题满分12分）

设椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 2 } } = 1$ 的焦点在x轴上

（I）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（ⅡI）设 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线 $F _ { 2 } P$ 交y轴与点Q，并且 $F _ { 1 } P \bot F _ { 1 } Q$，证明：当a变化时，点P在某定直线上.

（本小题满分13分）

如图，圆锥顶点为P.底面圆心为O，其母线与底面所成的角为 $2 2 . 5 ^ { \circ }$ .AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴 $O P$ 与平面PCD所成的角为 $6 0 ^ { \circ }$

（I）证明：平面 $P A B \bot$ 平面PCD的交线平行于底面；

（II）求 $\cos \angle C O D$