复数 $\mathrm{z}=\mathrm{i} \cdot(1+\mathrm{i})(\mathrm{i}$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于
考点：复数代数形式的四则运算考法：复数代数运算易错：符号错误
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B
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2013 地方卷 · 文 数学
在线查看并练习本卷。答案默认隐藏，完成练习后可生成薄弱考点、失分原因和针对性练习建议。
10 个易错信号 · 4 个课本册次 · 23 种考法
试题
按题号顺序作答，答案默认隐藏。
＂ $1<x<2$＂是＂$x<2$＂成立的
考点：充分条件与必要条件考法：集合运算易错：审题不清
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A
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已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数， $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 是偶函数，且 $\mathrm{f}(-1)+\mathrm{g}(1)=2, \mathrm{f}(1)+\mathrm{g}(-1)=4$，则 $\mathrm{g}(1)$等于
考点：函数的奇偶性考法：同构变换易错：符号错误
参考答案
B
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在锐角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, ~ \mathrm{~B}$ 所对的边长分别为 a， b．若 $2 \mathrm{asin} \mathrm{B}=\sqrt{3} \mathrm{~b}$，则角 A 等于
考点：正弦定理考法：正余弦定理易错：范围错误
参考答案
A
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函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图像与函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+4$ 的图像的交点个数为
考点：函数的图象考法：构造函数易错：定义域忽略
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C
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已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 $\sqrt{2}$ 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于
考点：空间几何体的三视图和直观图考法：空间坐标计算易错：审题不清
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D
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已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的最大值为
考点：平面向量的应用举例考法：向量坐标法易错：范围错误
参考答案
C
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已知事件＂在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使 $\triangle \mathrm{APB}$ 的最大边是 AB ＂发生的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\frac{A D}{A B}=$
参考答案
D
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已知集合 $U=\{2,3,6,8\}, A=\{2,3\}, B=\{2,6,8\}$，则 $(C \cup A) \cap B=$ $\_\_\_\_$
考点：集合的基本运算考法：集合运算易错：漏解
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
参考答案
$\{6,8\}$
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在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 $l_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 s+1, \\ y=s\end{array}\right.$（s 为参数）和直线 $l_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=a t, \\ y=2 t-1\end{array}\right.$（t 为参数）平行，则常数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$
考法：向量坐标法
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
参考答案
$a=4$
这题的学习线索
核心考法向量坐标法
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执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2$，则输出的 a 的值为 $\_\_\_\_$
图1
考点：推理与证明易错：漏解
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
参考答案
9
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这题考什么推理与证明
常见易错漏解
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若变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y \leq 8, \\ 0 \leq x \leq 4, \\ 0 \leq y \leq 3,\end{array}\right.$ 则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$
考点：线性规划考法：向量坐标法易错：端点遗漏
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
参考答案
6
这题的学习线索
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设 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 是双曲线 $\mathrm{C}, \frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的两个焦点。若在 C 上存在一点 P。使 $\mathrm{PF}_{1} \perp \mathrm{PF}_{2}$，且 $\angle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}=30^{\circ}$，则 C 的离心率为
参考答案
$\sqrt{3}+1$
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对于 $\mathrm{E}=\left\{\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots \mathrm{a}_{100}\right\}$ 的子集 $\mathrm{X}=\left\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \ldots, a_{i_{k}}\right\}$，定义 X 的＂特征数列＂为 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \ldots, \mathrm{x}_{100}$，其中 $x_{i_{1}}=x_{i_{2}}=\ldots=x_{i_{k}}=1$．其余项均为 0，例如子集 $\left\{\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\right\}$ 的 ＂特征数列＂为 $0,1,0,0, \ldots, 0$
（1）子集 $\left\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\right\}$ 的＂特征数列＂的前三项和等于
（2）若 $E$ 的子集 $P$ 的＂特征数列＂$P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{100}$ 满足 $P_{1}+P_{i+1}=1,1 \leqslant i \leqslant 99$； E 的子集 Q 的＂特征数列＂ $\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{2}, \ldots, \mathrm{q}_{100}$ 满足 $\mathrm{q}_{1}=1, \mathrm{q}_{1}+\mathrm{q}_{\mathrm{j}+1}+\mathrm{q}_{\mathrm{j}+2}=1$， $1 \leqslant \mathrm{j} \leqslant 98$，则 $\mathrm{P} \cap \mathrm{Q}$ 的元素个数为
参考答案
$2 ; 17$
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（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\cos x \cdot \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
（1）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求使 $f(x)<\frac{1}{4}$ 成立的 x 的取值集合
考点：三角恒等变换的应用考法：辅助角公式易错：端点遗漏
参考答案
(1) $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{4}$; (2) $f(x)=\cos x\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)=\frac{1}{2} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \cos 2 x+\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 x$ $=\frac{1}{2} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{4}$，因为 $f(x)<\frac{1}{4}$，所以 $\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)<0$，故 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi<2 x-\frac{\pi}{3}<\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi$
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（本小题满分 12 分）
如图 2．在直棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}, \mathrm{AA}_{1}=3, \mathrm{D}$ 是 BC 的中点，点 E 在菱 $\mathrm{BB}_{1}$ 上运动。
（I）证明： $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$；
（II）当异面直线 $\mathrm{AC}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{E}$ 的体积
考点：直线、平面垂直的判定与性质考法：等体积转化易错：范围错误
参考答案
(1) 因为直棱柱，所以 $B_{1} B \perp$ 平面 ABC，所以 $B_{1} B \perp A D$，因为 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，所以 $\mathrm{AD} \perp B C$，因为 $B C \cap B B_{1}=B$，所以 $A D \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$，所以 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$; (2) 因为 $C A / / C_{1} A_{1}$，所以 $\angle E C_{1} A_{1}=60^{0}$，故 $A_{1} E=\sqrt{6}$， 
图2 $A_{1} B_{1}=\sqrt{2}$，所以 $B_{1} E=2$，所以 $V_{C-A B E}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A B_{1} E} \cdot A_{1} C_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{2}{3}$．
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（本小题满分 12 分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$（单位： kg ）与它的＂相近＂作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：
这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。
（I）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
| $Y$ | 51 | 48 | 45 | 42 |
|---|---|---|---|---|
| $w_{\text {频数 }}$ × $d_{0} \mathrm{~m}$ | 4 |
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率．
考点：随机事件的概率考法：分布列与期望易错：审题不清
参考答案
①所种作物的总株数为 15，其中相近作物株数为 1 的作物有 2 株，相近作物株数 2 的作物有 4 株，相近作物株数为 3 的作物有 6 株，相近作物株数为 4 的作物有 3 株，列表如下： | $Y$ | 51 | 48 | 45 | 42 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 频数 | $\gamma$ | 4 | 6 | 3 |
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（本小题满分 13 分）
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和，已知 $a_{1} \neq 0,2 a_{n}-a_{1}=S_{1} \bullet S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
（I）求 $a_{1}, a_{2}$，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
考点：错位相减法考法：错位相减易错：端点遗漏
参考答案
（I）令 $n=1$，所以 $a_{1}=a_{1}^{2}$，因为 $a_{1} \neq 0$，所以 $a_{1}=1$；因为 $2 a_{2}-a_{1}=a_{1} \bullet\left(a_{1}+a_{2}\right)$，所以 $a_{2}=2 ; 2 a_{n}-1=S_{n}$，当 $n \geq 2$ 时， $2 a_{n-1}-1=S_{n-1}$，两式对减，$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=2$，所以 $a_{n}=2^{n-1}$； （II）$n a_{n}=n 2^{n-1}$，记 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $B_{n}$， $B_{n}=1 \cdot 2^{0}+2 \cdot 2^{1}+3 \cdot 2^{2}+\ldots+n \cdot 2^{n-1}$； $2 B_{n}=1 \cdot 2^{1}+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+\ldots+n \cdot 2^{n}$ 两式对减 $B_{n}=1+(n-1) \cdot 2^{n}$．
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（本小题满分 13 分）
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点。
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a, b$。当 $a b$ 最大时，求直线 $l$ 的方程。
参考答案
（I）$F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$，左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点，即左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的重点关于直线的对称点即为圆心；设圆心的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$，有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{y_{0}}{x_{0}}=1 \\ \frac{x_{0}}{2}+\frac{y_{0}}{2}-2=0\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=2 \\ y_{0}=2\end{array}\right.$，所以圆的方程为 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4$； （II）依题意，设直线的方程为 $x=m y+2$，则圆心到直线的距离 $d=\frac{|2 m|}{\sqrt{1+m^{2}}}$，所以 $b=2 \sqrt{2^{2}-d^{2}}=\frac{4}{\sqrt{1+m^{2}}}$，由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1 \\ \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1\end{array}\right.$ 得 $\left(m^{2}+5\right) y^{2}+4 m y-1=0$，设 1 与 E 的两个交点坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$，则 $y_{1}+y_{2}=\frac{-4 m}{m^{2}+5}, y_{1} y_{2}=-\frac{1}{m^{2}+5}$，所以 $a=\sqrt{1+m^{2}}\left|y_{1}-y_{2}\right|=\frac{2 \sqrt{5}\left(m^{2}+1\right)}{m^{2}+5}$，从而 $a b=\frac{8 \sqrt{5} \sqrt{\left(m^{2}+1\right)}}{m^{2}+5}=\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{m^{2}+1}+\frac{4}{\sqrt{m^{2}+1}}} \leq 2 \sqrt{5}$，当 且仅当 $\sqrt{m^{2}+1}=\frac{4}{\sqrt{m^{2}+1}}$ 时等号成立，即 $m= \pm \sqrt{3}$，故直线方程为 $x-\sqrt{3} y-2=0$ 或 $x+\sqrt{3} y-2=0$
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（本小题满分 13 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{x}}{1+x^{2}} e^{x}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（II）证明：当 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ 时， $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<0$．
考点：导数在研究函数中的作用考法：二次求导易错：端点取等判断错误
参考答案
(1) 函数的定义域为 $(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)=\frac{-x\left[(x-1)^{2}+2\right]}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} e^{x}$，当 $x<0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$；当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$；所以单调增区间为 $(-\infty, 0)$，单调减区间为 $(0,+\infty)$; (2) 当 $x<1$ 时，由于 $\frac{1-x}{1+x^{2}}>0, e^{x}<0$，故 $f(x)>0$；同理当 $x>1$ 时，$f(x)<0$； 当 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 时，不妨设 $x_{1}<x_{2}$，由①$x_{1} \in(-\infty, 0), x_{2} \in(0,1)$， 下面证明：$\forall x \in(0,1), f(x)<f(-x)$，即证 $\frac{1-x}{1+x^{2}} e^{x}<\frac{1+x}{1+x^{2}} e^{-x}$，此不等式等价于 $(1-x) e^{x}-\frac{1+x}{e^{x}}<0$，令 $g(x)=(1-x) e^{x}-\frac{1+x}{e^{x}}$，则 $g^{\prime}(x)=-x e^{-x}\left(e^{2 x}-1\right)$； 当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)<f(-x)$；而 $x_{2} \in(0,1), f\left(x_{2}\right)<f\left(-x_{2}\right)$，从而 $f\left(x_{1}\right)<f\left(-x_{1}\right)$，由于 $x_{1},-x_{2} \in(-\infty, 0), f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，所以 $x_{1}<-x_{2}$，即 $x_{1}+x_{2}<0$
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本卷概览这张卷怎么考查看完整卷面分析
难度结构
中档题为主
重点考点
三角恒等变换的应用 · 充分条件与必要条件 · 函数的图象 · 函数的奇偶性
高频考法
化归与转化 · 数形结合 · 向量坐标法
题型结构
单选 8 · 解答 8 · 填空 4
难度分布
中档 20
课本覆盖
人教A版·必修第二册 6 · 人教A版·必修第一册 3 · 人教A版·选择性必修第二册 2 · 人教A版·选择性必修第一册 1
重点 / 易错题
1 · 易错 · 2 · 易错 · 4 · 易错 · 5 · 易错 · 6 · 易错
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