2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．复数 $z=i \bullet(1+i)(i$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于

2．某学校有男、女学生各 500 名。为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是

3．在锐角中 $\triangle A B C$，角 $A, B$ 所对的边长分别为 $a, b$。若 $2 a \sin B=\sqrt{3} b$，则角 $A$ 等于

4．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leq 2 x \\ x+y \leq 1 \\ y \geq-1\end{array}\right.$ 则 $x+2 y$ 的最大值是

5．函数 $f(x)=2 \ln x$ 的图像与函数 $g(x)=x^{2}-4 x+5$ 的图像的交点个数为

6．已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的取值范围是

7．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于

8．在等腰三角形 $A B C$ 中，$A B=A C=4$，点 $P$ 是边 $A B$ 上异于 $A, B$ 的一点，光线从点 $P$ 出发，经 $B C, C A$ 发射后又回到原点 $P$（如图1）。若光线 $Q R$ 经过 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A P$ 等于

9．在平面直角坐标系 $x o y$ 中，若 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t-a\end{array}\right.$（ t 为参数）过椭圆 $\mathrm{C}:\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \varphi, \\ y=2 \sin \varphi\end{array}\right.$ （ $\varphi$ 为参数）的右顶点，则常数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$．

10．已知 $a, b, c \in, a+2 b+3 c=6$，则 $a^{2}+4 b^{2}+9 c^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$．

11．如图 2，在半径为 $\sqrt{7}$ 的 $\odot O$ 中，弦 $A B, C D$ 相交于点 $P, P A=P B=2$， $P D=1$，则圆心 $O$ 到弦 $O D$ 的距离为 $\_\_\_\_$．

12．若 $\int_{0}^{T} x^{2} d x=9$，则常数 $T$ 的值为 $\_\_\_\_$．

13．执行如图 3 所示的程序框图，如果输入 $a=1, b=2$，则输出的 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$．  图3

14．设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 $|P F|_{1}+\left|P F_{2}\right|=6 a$，且 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30^{\circ}$，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$。

15．设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和，$S_{n}=(-1)^{n} a_{n}-\frac{1}{2^{n}}, n \in N^{*}$，则 ①$a_{3}=$ $\_\_\_\_$； ②$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=$ $\_\_\_\_$。

16．设函数 $f(x)=a^{x}+b^{x}-c^{x}$，其中 $c>a>0, c>b>0$． （1）记集合 $M=\{(a, b, c) \mid a, b, c$ 不能构成一个三角形的三条边长，且 $a=\mathrm{b}\}$，则 $(a, b, c) \in M$ 所对应的 $f(x)$ 的零点的取值集合为 $\_\_\_\_$。 （2）若 $a, b, c$ 是 $\triangle A B C$ 的三条边长，则下列结论正确的是 $\_\_\_\_$．（写出所有正确结论 的序号） （1）$\forall x \in(-\infty, 1), f(x)>0$； ②$\exists x \in R$，使 $x a^{x}, b^{x}, c^{x}$ 不能构成一个三角形的三条边长； （3）若 $\triangle A B C$ 为钝角三角形，则 $\exists x \in(1,2)$，使 $f(x)=0$．

17．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cdot g(x)=2 \sin ^{2} \frac{x}{2}$。 （I）若 $\alpha$ 是第一象限角，且 $f(\alpha)=\frac{3 \sqrt{3}}{5}$。求 $g(\alpha)$ 的值； （II）求使 $f(x) \geq g(x)$ 成立的 x 的取值集合。

18．（本小题满分 12 分） 某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y （单位： kg）与它的＂相近＂作物株数 X 之间的关系如下表所示： | X | 1 | 2 | 3 | 4 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | Y | 51 | 48 | 45 | 42 | 这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。  图4 （I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好＂相近＂的概率； （II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

19．（本小题满分 12 分） 如图5，在直棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_{1}=3$． （I）证明：$A C \perp B_{1} D$； （II）求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值。  图5

20．（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条＂L 路径＂。如图 6 所示的路径 $M M_{1} M_{2} M_{3} N$ 与路径 $M N_{1} N$ 都是 M 到 N 的＂L 路径＂。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点 $A(3,20), B(-10,0), C(14,0)$ 处。现计划在 x 轴上方区域 （包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。  图6 （I）写出点 P 到居民区 A 的＂L 路径＂长度最小值的表达式（不要求证明）； （II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，＂L 路径＂不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的＂ L 路径＂长度值和最小。

21．（本小题满分 13 分） 过拖物线 $E: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 F 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$，且 $k_{1}+k_{2}=2, l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$。以 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 为直径的圆 M，圆 N （ $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$。 （I）若 $k_{1}>0, k_{2}>0$，证明； $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<2 P^{2}$； （II）若点 M 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，求抛物线 E 的方程。

22．（本小题满分 13 分） 已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\left|\frac{x-a}{x+2 a}\right|$。 （I）；记 $f(x)$ 在 区间 $[0,4]$ 上的最大值为 $\mathrm{g}(a)$，求 $\mathrm{g}(a)$ 的表达式； （II）是否存在 $a$，使函数 $y=f(x)$ 在区间 $(0,4)$ 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。