2013 新课标 I 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot { \mathsf { A } } { = } \left\{ 1 , \ 2 , \ 3 , \ 4 \right\}$ $\mathsf { B } = \{ \mathsf { x } | \mathsf { x } { = } \mathsf { n } ^ { 2 } , \mathsf { n } { \in } \mathsf { A } \}$ ，则A∩B=（　　）

（5分） $\scriptstyle { \frac { 1 + 2 \dot { 1 } } { ( 1 - \dot { 1 } ) ^ { 2 } } } =$ （ ）A $- \ : 1 - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i }$ B $- \ 1 + \frac { 1 } { 2 } \mathsf { i }$ C $\mathbf { 1 } { ^ { + } } { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { i }$ D $1 - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i }$

（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）A $\frac 1 2$ B $\frac 1 3$ C $\frac { 1 } { 4 }$ D $\frac { 1 } { 6 }$

（5分）已知命题p：∀x∈R， $2 ^ { x } < 3 ^ { x }$ ；命题q：∃x∈R， $\mathsf { x } ^ { 3 } { = } 1 - \mathsf { x } ^ { 2 }$ ，则下列命题中为真命题的是（　　）A．p∧q B $\neg p \land { \mathsf { q } }$ C ${ \mathsf { p } } \Lambda ^ { - } { \mathsf { q } }$ D $\neg { \mathsf { p } } \wedge \neg{ \mathsf { q } }$

（5分）设首项为1，公比为 $\frac { 2 } { 3 }$ 的等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathsf { I S } _ { \mathsf { n } }$ ，则（　　）

A $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } { = } 2 \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } - 1$ B $S _ { n } { = } 3 { \mathsf { a } } _ { \mathsf { n } } - 2$ C $S _ { \mathfrak { n } } { = } 4 \ - \ 3 \mathsf { a } _ { \mathfrak { n } }$ D $S _ { \mathfrak { n } } { = } 3 \ - \ 2 { \mathsf { a } } _ { \mathfrak { n } }$

（5分）O为坐标原点，F为抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 4 \sqrt { 2 } \mathsf { x }$ 的焦点，P为C上一点，若 $| \mathsf { P F } |$ $\scriptstyle = 4 { \sqrt { 2 } }$ ，则 $\triangle P O F$ 的面积为（　　） A．2 B $2 \sqrt { 2 }$ C $2 \sqrt { 3 }$ D．4

（5分）已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 3 \mathsf { c o s } ^ { 2 } \mathsf { A } ^ { + } \mathsf { c o s }$ $2 A = 0 , \mathsf { a } = 7 , \mathsf { c } = 6$ ，则b=（　　）

（5分）已知函数f $( \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathbf { x } ^ { 2 } + 2 \mathbf { x } , } & { \mathbf { x } \leqslant 0 } \\ { \ln ( \mathbf { x } + 1 ) , } & { \mathbf { x } > 0 } \end{array} \right.$ ，若 $| { \textsf { f } } ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } ) | { \ge } { \mathsf { a x } }$ ，则a的取值范围是（　　）

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 1 { \leqslant } _ { \mathbb { X } } { \leqslant } 3 } \\ { - 1 { \leqslant } _ { \mathbb { X } } \qquad \operatorname { \& } \leqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为　3

（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 $\underline { { \boldsymbol { \cdot } } } \frac { 9 \pi } { 2 } -$

（5分）设当x=θ时，函数f $( \textsf { x } ) = \sin x - 2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta = - \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$

（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上， $\angle A B C$ 的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D

（Ⅰ）证明： $\mathsf { D B } \mathrm { = D C } \mathrm { ; }$

（Ⅱ）设圆的半径为1， ${ \mathsf { B C } } { = } \sqrt { 3 }$ ，延长CE交AB于点F，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径