2013 地方卷 · 文 数学

设集合 $A=\{1,2,3\}$，集合 $B=\{-2,2\}$，则 $A \cap B=$

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是

如图，在复平面内，点 $A$ 表示复数 $z$，则图中表示 $z$ 的共轭复数的点是

设 $x \in Z$，集合 $A$ 是奇数集，集合 $B$ 是偶数集．若命题 $p: \forall x \in A, 2 x \in B$，则

抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点到直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 的距离是

函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图所示，则 $\omega, \varphi$ 的值分别是

某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为 5 将数据分组成 $[0,5),[5,10), \cdots,[30,35),[35,40]$ 时，所作的频率分布直方图是

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 8, \\ 2 y-x \leq 4, \\ x \geq 0, \\ y \geq 0,\end{array}\right.$ 且 $z=5 y-x$ 的最大值为 $a$，最小值为 $b$，则 $a-b$ 的值是

从椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_{1}, A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，$B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $A B / / O P$（ $O$ 是坐标原点），则该椭圆的离心率是

设函数 $f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数）。若存在 $b \in[0,1]$ 使 $f(f(b))=b$成立，则 $a$ 的取值范围是

$\lg \sqrt{5}+\lg \sqrt{20}$ 的值是 $\_\_\_\_$。

如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A O}$，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$．

已知函数 $f(x)=4 x+\frac{a}{x} \quad(x>0, a>0)$ 在 $x=3$ 时取得最小值，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

设 $\sin 2 \alpha=-\sin \alpha, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，则 $\tan 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$．

在平面直角坐标系内，到点 $A(1,2), B(1,5), C(3,6), D(7,-1)$ 的距离之和最小的点的坐标是 $\_\_\_\_$。

（本小题满分 12 分）
在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}-a_{1}=2$，且 $2 a_{2}$ 为 $3 a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项、公比及前 $n$项和。

（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且
$\cos (A-B) \cos B-\sin (A-B) \sin (A+C)=-\frac{3}{5}$.
（I）求 $\sin A$ 的值；
（II）若 $a=4 \sqrt{2}, b=5$，求向量 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\overrightarrow{B C}$ 方向上的投影．

（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生。
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

（本小题满分 12 分）

如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}=2$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$是线段 $A D$ 上异于端点的点。
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$，求三棱锥

$A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

（本小题满分 13 分）
已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2}+(y-4)^{2}=4$，点 $O$ 是坐标原点．直线 $l: y=k x$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）求 $k$ 的取值范围；
（II）设 $Q(m, n)$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{|O Q|^{2}}=\frac{1}{|O M|^{2}}+\frac{1}{|O N|^{2}}$．请将 $n$ 表示为 $m$ 的函数．

（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+a, x<0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$, 其中 $a$ 是实数。设 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1}<x_{2}$。
（I）指出函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2}<0$，证明：$x_{2}-x_{1} \geq 1$；
（III）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围。