2008 地方卷 数学

已知 $0 < a < 2$ ，复数z的实部为a，虚部为1，则 $\left. z \right.$ 的取值范围是（C）

记等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，若 $a _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } , S _ { 4 } = 2 0$ ，则 $S _ { 6 } = \mathrm { ~ ( ~ D ~ ) ~ }$

某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（　　）
<table><tr><td></td><td>一年级</td><td>二年级</td><td>三年级</td></tr><tr><td>女生</td><td>373</td><td>$x$</td><td>$y$</td></tr><tr><td>男生</td><td>377</td><td>370</td><td>$z$</td></tr></table>

若变量x，y满足 $\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 x + y \leqslant 4 0 , } \\ { x + 2 y \leqslant 5 0 , } \\ { x \geqslant 0 , } \\ { y \geqslant 0 , } \end{array} \right. } \end{array}$ 则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值是（C）

已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）

设 $a \in \mathbf { R }$ ，若函数 $y = e ^ { a x } + 3 x$ $x \in \mathbf { R }$ 有大于零的极值点，则（B）

在平行四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$E$ 是线段 $OD$ 的中点，$AE$ 的延长线与 $CD$ 交于点 $F$．若 $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}$，则 $\overrightarrow{AF}=$（ B ）

已知 $( 1 + k x ^ { 2 } ) ^ { 6 }$ （k是正整数）的展开式中， $x ^ { 8 }$ 的系数小于120，则k=\_

经过圆 $x ^ { 2 } + 2 x + y ^ { 2 } = 0$ 的圆心C，且与直线 $x + y = 0$ 垂直的直线

方程是\_

已知函数 $f(x)=(\sin x-\cos x)\sin x$，$x\in\mathbf{R}$，则 $f(x)$ 的最小正周期是______．

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 $C _ { 1 } , \ C _ { 2 }$ 的极坐标方程分别为 $\rho \cos \theta = 3$ $\rho = 4 \cos \theta \bigg ( \rho \geqslant 0 , 0 \leqslant \theta < \frac { \pi } { 2 } \bigg )$ ，则曲线 $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 交点的极坐标为

（不等式选讲选做题）已知 $a \in \mathbf { R }$ ，若关于x的方程 $x ^ { 2 } + x + \left| a - { \frac { 1 } { 4 } } \right| + \left| a \right| = 0$ 有实根，则a的取值范围是

（几何证明选讲选做题）已知 $PA$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $A$，$PA=2$．$AC$ 是圆 $O$ 的直径，$PC$ 与圆 $O$ 交于点 $B$，$PB=1$，则圆 $O$ 的半径 $R=$______．

（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 $\xi$

（1）求 $\xi$ 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即 $\xi$ 的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

（本小题满分14分）

设 $b > 0$ ，椭圆方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，抛物线方程为 $x ^ { 2 } = 8 ( y - b )$ ．如图4所示，过点$F ( 0 , \ b + 2 )$ 作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点 $F _ { 1 }$

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

②设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得$\triangle A B P$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

（本小题满分14分）

设 $k \in \mathbf { R }$ ，函数 $f ( x ) = \left\{ { \frac { 1 } { 1 - x } } , \ x < 1 \atop - { \sqrt { x - 1 } } , \ x \geq 1 \right.$ $F ( x ) = f ( x ) - k x$ $x \in \mathbf { R }$ ，试讨论函数

$F ( x )$ 的单调性.

21.（本小题满分12分）

设 $p , \ q$ 为实数， $\alpha , ~ \beta$ 是方程 $x ^ { 2 } - p x + q = 0$ 的两个实根，数列 $\left\{ x _ { n } \right\}$ 满足 $x _ { 1 } = p$ $x _ { 2 } = p ^ { 2 } - q , x _ { n } = p x _ { n - 1 } - q x _ { n - 2 } ( n = 3 , 4 , \ldots )$

（1）证明： $\alpha + \beta = p , \alpha \beta = q$

(2) 求数列 $\{ x _ { n } \}$ 的通项公式；

(3)若p=1, $q = \frac 1 4$ ，求 $\{ x _ { n } \}$ 的前n项和 $S _ { n }$