2009 北京卷 数学

在复平面内，复数 $z = i(1 + 2i)$ 对应的点位于

已知向量 $a, b$ 不共线，$c = ka + b (k \in R), d = a - b$ 如果 $c \parallel d$，那么

为了得到函数 $y = \lg { \frac { x + 3 } { 1 0 } }$ 的图像，只需把函数 $y = \lg x$ 的图像上所有的点

若正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的底面边长为1， $A B _ { 1 }$ 与底面ABCD成 $6 0 ^ { \circ }$ 角，则 $A _ { 1 } C _ { 1 }$ 到底面ABCD的距离为

“ $\alpha = \frac { \pi } { 6 } + 2 k \pi ( k \in Z ) ^ { , }$ 是 $\cos 2 \alpha = \frac { 1 } { 2 } ,$ 的

若 $( 1 + { \sqrt { 2 } } ) ^ { 5 } + a + b { \sqrt { 2 } } ( a , b$ 为有理数），则 $a + b =$

用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为

$$\lim_{x \to 1} \frac{x\sqrt{x} - x}{x - 1} = \underline{\hspace{2cm}}.$$

若实数 $x , y$ 满足 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y - 2 \geq 0 } \\ { x \leq 4 } \\ { y \leq 5 } \end{array} } \right.$ 则 $s = y - x$ 的最小值为

若函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x < 0 \\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^x, & x \ge 0 \end{cases}$ 则不等式 $|f(x)| \ge \dfrac{1}{3}$ 的解集为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足： $a _ { 4 n - 3 } = 1 , a _ { 4 n - 1 } = 0 , a _ { 2 n } = a _ { n } , n \in \mathrm { N } ^ { * }$ , 则 $a _ { 2 0 0 9 }$ = $a _ { 2 0 1 4 } =$

（本小题共13分）

在 $\Delta A B C$ 中，角A B C, , 的对边分别为 $a , b , c , B = \frac { \pi } { 3 } , \cos A = \frac { 4 } { 5 } , b = \sqrt { 3 }$

（I）求sinC的值；

（Ⅱ）求DABC的面积。

17．（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac 1 3$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x的分布列及期望。

20．（本小题共13分）

已知数集 $A = \{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { n } \} ( 1 \leq a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots a _ { n } , n \geq 2 )$ 具有性质P；对任意的

$i , j ( 1 \leq i \leq j \leq n ) , a _ { i } a _ { j }$ 与 $\frac { a _ { j } } { a _ { i } }$ 两数中至少有一个属于A。

（I）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明： $a _ { 1 } = 1$ ，且 $\frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } } { a _ { 1 } ^ { - 1 } + a _ { 2 } ^ { - 1 } + \cdots + a _ { n } ^ { - 1 } } = a _ { n }$ ;

（Ⅲ）证明：当n =5时， $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 }$ 成等比数列。