2009 天津卷 · 理 数学

i 是虚数单位，$\frac{5 i}{2-i}=$

设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 3 \\ x-y \geq-1 \\ 2 x-y \leq 3\end{array}\right.$ ．则目标函数 $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}$ 的最小值为

命题＂存在 $x_{0} \in \mathrm{R}, 2^{x_{0}} \leq 0$＂的否定是

设 $a>0, b>0$ ．若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为

已知函数 $f(x)=\sin \left(\varpi x+\frac{\pi}{4}\right)(x \in R, \varpi>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ，为了得到函数 $g(x)=\cos \varpi x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 x, x \geq 0, \\ 4 x-x^{2}, x<0,\end{array}\right.$ 若 $f\left(2-a^{2}\right)>f(a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

．设抛物线 $y^{2}=2 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，过点 $\mathrm{M}(\sqrt{3}, 0)$ 的直线与抛物线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，与抛物线的准线相交于 $\mathrm{C},|B F|=2$ ，则 $\triangle \mathrm{BCF}$ 与 $\triangle \mathrm{ACF}$ 的成面积之比 $\frac{S_{\triangle B C F}}{S_{\triangle A C F}}=$

$.0<\mathrm{b}<1+\mathrm{a}$ ，若关于 x 的不等式 $(x-b)^{2}>(a x)^{2}$ 的解集中的整数恰有 3 个，则

某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调
查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取
一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，
B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。

若圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $x^2+y^2+2ay-6=0$ （$a>0$）的公共弦的长为 $2\sqrt{3}$，则 $a=$______

在四边形 ABCD 中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(1,\,1)$，$\dfrac{1}{|\overrightarrow{BA}|}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{|\overrightarrow{BC}|}\overrightarrow{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{|\overrightarrow{BD}|}\overrightarrow{BD}$，则四边形 ABCD 的面积是______

（满分 14 分）已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 d（d ≠ 0），等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 q（q > 1）。设 $s_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$，$T_{n}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}+\cdots +(-1)^{n-1}a_{n}b_{n}$，$n\in N^{+}$。
（I） 若 $a_{1}=b_{1}=1$，d=2，q=3，求 $S_{3}$ 的值；
（II） 若 $b_{1}=1$，证明 $(1-q)S_{2n}-(1+q)T_{2n}=\dfrac{2dq(1-q^{2n})}{1-q^{2}}$，$n\in N^{+}$；
（III） 若正数 n 满足 $2\leq n\leq q$，设 $k_{1},k_{2},...,k_{n}$ 和 $l_{1},l_{2},...,l_{n}$ 是 $1,2,...,n$ 的两个不同的排列，$c_{1}=a_{k_{1}}b_{1}+a_{k_{2}}b_{2}+...+a_{k_{n}}b_{n}$，$c_{2}=a_{l_{1}}b_{1}+a_{l_{2}}b_{2}+...+a_{l_{n}}b_{n}$，证明 $c_{1}\neq c_{2}$。

（21）（满分 14 分）
以知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}(-c, 0)$ 和 $F_{2}(c, 0)(c>0)$ ，过点 $E\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 的直线与陏圆相交与 $A, B$ 两点，且 $F_{1} A / / F_{2} B,\left|F_{1} A\right|=2\left|F_{2} B\right|$ 。
（1）求椭圆的离心率
（2）求直线 AB 的斜率；
③设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 $F_{2} B$ 上有一点 $H(m, n)(m \neq 0)$ 在 $\Delta A F_{1} C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值