错位相减法　·　历年高考数学真题与解析

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19.

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 $64 .\left\{b_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列， $b_{1}=4, b_{3}-b_{2}=48$.

（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n}=b_{2 n}+\frac{1}{b_{n}}, n \in N^{*}$ ，
（i）证明 $\left\{c_{n}^{2}-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列；
（ii）证明 $\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k+1}}{c_{k}^{2}-c_{2 k}}}<2 \sqrt{2}\left(n \in N^{*}\right)$

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=-\frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n+1}=3 S_{n}-9$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项；
②设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $3 b_{n}+(n-4) a_{n}=0\left(n \in N^{*}\right)$ ，记 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq \lambda b_{n}$ 对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

17．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比；
（2）若 $a_{1}=1$ ，求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

20．（15分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>1$ ，且 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=28, a_{4}+2$ 是 $a_{3}, a_{5}$ 的等差中项．数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=1$ ，数列 $\left\{\left(b_{n+1}-b_{n}\right) a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $2 n^{2}+n$ ．
（I）求 q 的值；

（II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

（19）（本小题满分 12 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6, a_{1} a_{2}=a_{3}$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式；
（II）$\left\{b_{n}\right\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 知 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}$ ，求数列
$\left\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

18．（12 分）（2016 •山东）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$ ．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

18．已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $a_{n+2}=q a_{n}$（ $q$ 为实数，且 $q \neq 1$ ），$n \in N^{*}, a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{2}+a_{1}, a_{3}+a_{4}$ ， $a_{4}+a_{5}$ 成等差数列。
（I）求 $q$ 的值和 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{\log _{2} a_{2 n}}{a_{2 n-1}}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

18．（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ 。已知 $b_{1}=a_{1}, b_{2}=2, q=d$ ， $S_{10}=100$ 。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）当 $d>1$ 时，记 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

19．（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．已知 $b_{1}=a_{1}, b_{2}=2, q=d$ ， $S_{10}=100$ 。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）当 $d>1$ 时，记 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

21．设 $f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1, n \in N, n \geq 2$．
（I）求 $f_{n}^{\prime}(2)$；
（II）证明：$f_{n}(x)$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$ ），且 $0

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+n(n+1), n \in N^{+}$
证明：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列；
设 $b_{n}=3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

17．（本小题满分 12 分）
已知首项都是 1 的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n} \neq 0, n \in N^{+}\right)$，满足 $a_{n} b_{n+1}-a_{n+1} b_{n}+2 b_{n+1} b_{n}=0$．
（1）令 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}$，求数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n}=3^{n-1}$，求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）若 $a_{1}=-2$，点 $\left(a_{8}, 4 b_{7}\right)$ 在函数 $f(x)$ 的图象上，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 的

前 $n$ 项和 $T_{n}$．

19．（本小题满分 13 分）
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和，已知 $a_{1} \neq 0,2 a_{n}-a_{1}=S_{1} \bullet S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
（I）求 $a_{1}, a_{2}$，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

20、（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4}=4 S_{2}, a_{2 n}=2 a_{n}+1$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n}+\frac{a_{n}+1}{2^{n}}=\lambda$（ $\lambda$ 为常数）。令 $c_{n}=2 b_{2 n},\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ 。

18．（2012•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，其前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}},\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，且 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{b}_{1}=2, \mathrm{a}_{4}+\mathrm{b}_{4}=27, \mathrm{~S}_{4}-\mathrm{b}_{4}=10$ ．
（1）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}, ~ \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，证明： $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}-8=\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1} ~\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}, ~ \mathrm{n} \geq 2\right)$ 。

17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}=0, a_{6}+a_{8}=-10$
（I）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；

（II）求数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

20．（本小题共 12 分）
设 $d$ 为非零实数，$a_{n}=\frac{1}{n}\left[C_{n}^{1} d+2 C_{n}^{2} d^{2}+\cdots+(n-1) C_{n}^{n-1} d^{n-1}+n C_{n}^{n} d_{n}^{n}\right]\left(n \in N^{*}\right)$ 。
（I）写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 并判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
（II）设 $b_{n}=n d a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

20．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$ ．
①设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

21．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$
（1）求 $S_{n}$ ；
②$b_{n}=\frac{S_{3 n}}{n \cdot 4^{n}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$ ．

（22）（满分 14 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\mathrm{d}(\mathrm{d} \neq 0)$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 q $(\mathrm{q}>1)$ 。设 $s_{n}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2} \ldots .+a_{n} b_{n}, T_{n}=a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}+\ldots . .+(-1)^{n-1} \quad a_{n} b_{n}, \mathrm{n} \in N^{+}$
（I）若 $a_{1}=b_{1}=1, \mathrm{~d}=2, \mathrm{q}=3$ ，求 $S_{3}$ 的值；
（II）若 $b_{1}=1$ ，证明 $(1-\mathrm{q}) S_{2 n}-(1+\mathrm{q}) T_{2 n}=\frac{2 d q\left(1-q^{2 n}\right)}{1-q^{2}}, \mathrm{n} \in N^{+}$；
（III）若正数 n 满足 $2 \leq \mathrm{n} \leq \mathrm{q}$ ，设 $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}$ 和 $l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}$ 是 $1,2, \ldots, \mathrm{n}$ 的两个不同的排列， $c_{1}=a_{k_{1}} b_{1}+a_{k_{2}} b_{2}+\ldots+a_{k_{n}} b_{n}, \quad c_{2}=a_{l_{1}} b_{1}+a_{l_{2}} b_{2}+\ldots+a_{l_{n}} b_{n}$ 证明 $c_{1} \neq c_{2}$ 。

## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

## 数学（理工类）参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$ ．
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n}}, S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$ ．证明：当 $n \geq 6$ 时，$\left|S_{n}-2\right|<\frac{1}{n}$ ．

19．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ 。
（I）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}$ ．证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

20．（12分）（2008•陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的首项 $\mathrm{a}_{1}=\frac{2}{3}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\frac{2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}, \mathrm{n}=1,2, \ldots$
（I）证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 是等比数列；
（II）求数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。