2010 地方卷 · 文 数学

复数 $Z=\frac{i}{1+i}$ 在复平面上对应的点位于

函数 $f(x)=2 \sin x \cos x$ 是

＂$a>0$＂是＂$|a|>0$＂的

已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=16$ 相切，则 $p$ 的值为

观察下列等式： $1^{3}+2^{3}=(1+2)^{2}, 1^{3}+2^{3}+3^{3}=(1+2+3)^{2}$ ， $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=(1+2+3+4)^{2}, \cdots$ ，根据上述规律，第四个等式为 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 12 分）
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_{1}=1$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项；
（II）求数列 $\left\{2^{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

21、（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\sqrt{x}, g(x)=a \ln x, a \in R$ ．
（I）若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 相交，且在交点处有相同的切线，求 $a$ 的值及该切线的方程；
（II）设函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ ，当 $h(x)$ 存在最小值时，求其最小值 $\varphi(a)$ 的解析式；
（III）对（II）中的 $\varphi(a)$ ，证明：当 $a \in(0,+\infty)$ 时，$\varphi(a) \leq 1$ ．