2024 全国甲卷 数学

设 $z = 5 + \mathrm{i}$ ，则 $\mathrm{i}\left(\overline{z} + z\right) =$ （ ）

集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$ , $B = \left\{x \mid \sqrt{x} \in A\right\}$ , 则 $\check{\mathbf{O}}_A(A \cap B) = (\quad)$

若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y - 3 \geq 0 \\ x - 2y - 2 \leq 0 \\ 2x + 6y - 9 \leq 0 \end{array} \right.$ ，则 $z = x - 5y$ 的最小值为（ ）

等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = S_{10}$ ， $a_{5} = 1$ ，则 $a_{1} = (\quad)$

已知双曲线 $C: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_1(0,4), F_2(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

设函数 $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x + 2\sin x}{1 + x^2}$ ，则曲线 $y = f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \sqrt{3}$ , 则 $\tan \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = (\quad)$

已知向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则（ ）

在 $\triangle ABC$ 中内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{\pi}{3}$ ， $b^2 = \frac{9}{4}ac$ ，则 $\sin A + \sin C = (\quad)$

已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项, 直线 $ax + by + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $\left|AB\right|$ 的最小值为 ( )

$\left(\frac{1}{3} + x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是\_\_\_\_.

已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 $r_1$ 和 $r_2$ ，母线长分别为 $2(r_2 - r_1)$ 和 $3(r_2 - r_1)$ ，则两个圆台的体积之比 $\frac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}} =$ \_\_\_\_.

已知 $a > 1$ ， $\frac{1}{\log_8 a} - \frac{1}{\log_a 4} = -\frac{5}{2}$ ，则 $a =$ \_\_\_\_.

有 6 个相同的球, 分别标有数字 1、2、3、4、5、6, 从中不放回地随机抽取 3 次, 每次取 1 个球. 记 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值, $n$ 为取出的三个球上数字的平均值, 则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是 \_\_\_\_.

某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 150 件进行检验，数据如下：

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>合格品</td><td>不合格品</td><td>总计</td></tr><tr><td>甲车间</td><td>26</td><td>24</td><td>0</td><td>50</td></tr><tr><td>乙车间</td><td>70</td><td>28</td><td>2</td><td>100</td></tr><tr><td>总计</td><td>96</td><td>52</td><td>2</td><td>150</td></tr></table>

(1) 填写如下列联表:

<table><tr><td></td><td>优级品</td><td>非优级品</td></tr><tr><td>甲车间</td><td></td><td></td></tr><tr><td>乙车间</td><td></td><td></td></tr></table>

能否有 $95\%$ 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 $99\%$ 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 $p = 0.5$ ，设 $\overline{p}$ 为升级改造后抽取的 $n$ 件产品的优级品率。如果 $\overline{p} > p + 1.65\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\sqrt{150} \approx 12.247$ ）

附： $K^{2}=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

<table><tr><td> $P(K^{2} \geq k)$ </td><td>0.050</td><td>0.010</td><td>0.001</td></tr><tr><td>k</td><td>3.841</td><td>6.635</td><td>10.828</td></tr></table>

记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4S_{n} = 3a_{n} + 4$

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；

②设 $b_{n}=(-1)^{n-1}na_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前n项和为 $T_{n}$

如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $ABCD$ 与四边形 $ADEF$ 均为等腰梯形， $BC \parallel AD, EF \parallel AD, AD = 4, AB = BC = EF = 2, ED = \sqrt{10}, FB = 2\sqrt{3}, M$ 为 $AD$ 的中点.

（1）证明： $BM \parallel$ 平面 CDE；

(2) 求二面角 F-BM-E 的正弦值.

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF \perp x$ 轴.

(1) 求 C 的方程;

（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点， $N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$ ，证明： $AQ \perp y$ 轴.

已知函数 $f(x) = (1 - ax)\ln (1 + x) - x$ .

（1）当a=-2时，求 $f(x)$ 的极值；

(2) 当 $x \geq 0$ 时， $f(x) \geq 0$ 恒成立，求 a 的取值范围.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho = \rho \cos \theta + 1$ .

(1) 写出 C 的直角坐标方程;

②设直线 $l$ ： $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\ y = t + a \end{array} \right.$ （ $t$ 为参数)，若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $\left|AB\right| = 2$ ，求 $a$ 的值.

实数 $a, b$ 满足 $a + b \geq 3$ .

（1）证明： $2a^{2}+2b^{2}>a+b$ ;

(2) 证明: $\left|a-2b^{2}\right|+\left|b-2a^{2}\right|\geq6$ .