2020 新课标 III 卷 数学

已知集合 $A = \{ ( x , y ) | x , y \in \mathbf { N } ^ { \ast } , y \geq x \}$ $B = \{ ( x , y ) | x + y = 8 \}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

复数 $\frac { 1 } { 1 - 3 \mathrm { i } }$ 的虚部是（ ）

在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 $p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 }$ ，且 $\sum _ { i = 1 } ^ { 4 } p _ { i } = 1$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的 $L o g i s t i c$ 模型： $I ( t ) { = } \frac { K } { 1 { + } { \mathrm { e } } ^ { - 0 . 2 3 ( t - 5 3 ) } }$ ，其中K为最大确诊病例数．当 $I ( t ^ { * } ) { = } 0 . 9 5 K ^ { \mathrm { \Delta } }$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t ^ { * }$ 约为（ ）（ln19≈3）

设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C： $\scriptstyle y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 交于D，E两点，若 $O D \bot O E$ ，则C的焦点坐标为（ ）

已知向量a，b满足 $| a | = 5$ $\mid b \mid = 6$ $a \cdot b = - 6$ ，则 $\cos { \left. a , a + b \right. } =$ （ ）

在 $\triangle A B C$ 中， $\cos C { = } { \frac { 2 } { 3 } }$ ，AC=4，BC=3，则 $\scriptstyle \left| \cos B = \right.$ （ ）

下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

已知$2\tan\theta-\tan(\theta+\frac{\pi}{4})=7$，则$\tan\theta=$（　　）

若直线l与曲线 $y = { \sqrt { x } }$ 和 $| x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 5 }$ 都相切，则l的方程为（ ）

设双曲线C： ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 } $ ，离心率为 $\sqrt { 5 }$ ．P是C上一点，且 $F _ { 1 } P \bot F _ { 2 } P$ ．若 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 的面积为4，则 $\scriptstyle | a =$ （ ）

已知$5^5<8^4$，$13^4<8^5$．设$a=\log_5 3$，$b=\log_8 5$，$c=\log_{13} 8$，则（ ）

若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { x + y \geq 0 , } \\ { 2 x - y \geq 0 , } \\ { \quad x \leq 1 , } \end{array} \right.$ ，，则 $z { = } 3 x { + } 2 y$ 的最大值为

$( x ^ { 2 } + \frac { 2 } { x } ) ^ { 6 }$ 的展开式中常数项是 （用数字作答）

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为

关于函数f $( x ) = \sin x + { \frac { 1 } { \sin x } }$ 有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称

②f（x）的图像关于原点对称

③f（x）的图像关于直线 $x { = } \frac { \pi } { 2 }$ 对称

④f（x）的最小值为2

其中所有真命题的序号是

设数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$， $a_{n+1}=3a_n-4n$．
（1）计算$a_2$，$a_3$，猜想$\{a_n\}$的通项公式并加以证明；
（2）求数列$\{2^n a_n\}$的前$n$项和$S_n$．

如图，在长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，点E F, 分别在棱 $D D _ { 1 } , B B _ { 1 } \bot$ ，且 $2 D E = E D _ { 1 }$ $B F = 2 F B _ { 1 }$

（1）证明：点 $C _ { 1 }$ 在平面AEF内；

（2）若 AB = 2 ， AD =1， $A A _ { 1 } = 3$ ，求二面角 $A - E F - A _ { 1 }$ 的正弦值

已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 1 ( 0 < m < 5 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 }$ ，A，B分别为C的左、右顶点

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $B P$ | |= $B Q \vert$ ， $B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

设函数 $f(x)=x^{3}+bx+c$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\frac{1}{2}, f(\frac{1}{2}))$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．
（1）求 $b$．
（2）若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 2 - t - t ^ { 2 } } \\ { y = 2 - 3 t + t ^ { 2 } } \end{array} \right.$ （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点

（1）求 $\mid A B \mid$

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程