2009 地方卷 数学

（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $1 6 0 ^ { \circ }$ 的直线被圆 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } - 4 \mathbf { y } = 0$ 所截得的弦长为（）

A $\sqrt { 3 }$ B．2 C $\sqrt { 6 }$ D $2 \sqrt { 3 }$

（5分）（2009•陕西）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（　　）

（5分）（2009•陕西）若 $( 1 \ - \ 2 \mathrm { x } ) \ ^ { 2 0 0 9 } = \mathrm { a _ { 0 } + a _ { 1 } \mathrm { x + \ldots + a _ { 2 0 0 9 } \mathrm { x } ^ { 2 0 0 9 } \ ( \mathrm { x \in R } ) } }$ ，则$\frac { a _ { 1 } } { 2 } + \frac { a _ { 2 } } { 2 ^ { 2 } } + \cdots + \frac { a _ { 2 0 0 9 } } { 2 ^ { 2 0 0 9 } }$ 的值为（　　）

（5分）（2009•陕西） $\prime { \bf { m } } { > } { \bf { n } } { > } 0 ^ { \prime \prime }$ 是”方程 $\mathrm { m } \mathrm { x } ^ { 2 } { + } \mathrm { n y } ^ { 2 }$ ²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（
）

（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为 ${ \sqrt { 2 } } ,$ ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸
多面体的体积为（　　）
A． $\frac { \sqrt { 2 } } { 6 }$ B． $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ D $\frac { 2 } { 3 }$

（5分）（2009•陕西）设曲线 $\scriptstyle \mathbf { y } = \mathbf { x } ^ { \mathrm { n + 1 } } ( \mathbf { n } \in \mathbf { N } ^ { * } )$ ）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横
坐标为 $\lvert \mathbf { X } _ { \mathrm { n } } ;$ ，则 $\mathrm { x } _ { 1 } { \bullet } \mathrm { x } _ { 2 } { \bullet } . . . { \bullet } \mathrm { x } _ { \mathrm { n } }$ 的值为（　　）

（4分）（2009•陕西）设等差数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathrm { n } }$ ，若 $\mathbf { a } _ { 6 } { = } \mathbf { s } _ { 3 } { = } 1 2$ ，则 $a _ { \mathrm { n } } = 2 \mathrm { n }$ 【考点】等差数列的通项公式

（12分）（2009•陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2
的概率分别为0.4，0.5，0.1

（Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率

（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 $\mathrm { A B C } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } }$ 中，AB=1， $\scriptstyle \mathbf { A C } = \mathbf { A A } _ { 1 } =$ ${ \sqrt { 3 } } , \ \angle \mathrm { A B C = } 6 0 ^ { \circ }$

（1）证明： $\mathrm { \bf A B \bot A _ { 1 } C } _ { \mathrm { \ell } }$

（2）求二面角 $\mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } ]$ B的余弦值

（12分）（2009•陕西）已知函数f $\mathrm { ( } \mathrm { x } \mathrm { ) } = \mathrm { x } ^ { 3 } - 3 \mathrm { a x } - 1 , \mathrm { a } \neq 0$

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围

（12分）（2009•陕西）已知数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 满足 $\mathbf { a } _ { 1 } { = } 1$ ， ${ \bf a } _ { 2 } { = } 2 , ~ { \bf a } _ { \mathrm { n } + 2 } { = } \frac { \bar { \bf a } _ { \mathrm { n } } + \bar { \bf a } _ { \mathrm { n } + 1 } } { 2 } , ~ \mathrm { n } \in \mathrm { N } ^ { * }$

（1）令 $\mathrm { b } _ { \mathrm { n } } { = } \mathrm { a } _ { \mathrm { n } + 1 } - \mathrm { a } _ { \mathrm { n } } ,$ 证明： $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 是等比数列；

（2）求 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式

（14分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ，离心率$e = { \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } } ,$ ，顶点到渐近线的距离为 ${ \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } .$

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow { A P } = \lambda \overrightarrow { P B }$ $\lambda \in [ \frac { 1 } { 3 } , \ 2 ]$ ，求 $\triangle \mathrm { A O B }$ 面积的取值范围