2009 全国 II 卷（旧） 数学

（5分）已知正四棱柱 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } } \mathsf { f } \mathsf { I }$ $A A _ { 1 } = 2 A B$ ，E为 ${ \mathsf { A A } } _ { 1 }$ 中点，则异面直线BE与 $\mathsf { C D } _ { 1 }$ 所形成角的余弦值为（A $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 }$ B $\frac { 1 } { 5 }$ C $\frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 }$ D $\frac { 3 } { 5 }$

（5分）已知向量 $\stackrel { } { \mathsf { a } } = \mathrm { \Omega } ( 2 , \mathrm { \Omega } 1 )$ $\stackrel { } { \circ } \cdot \stackrel { } { \ b } = 1 0$ $| \vec { \mathsf { a } } + \vec { \mathsf { b } } | = 5 \sqrt { 2 } ,$ ，则 $\vert \overrightarrow { b } \vert =$ （ ）A $\sqrt { 5 }$ B $\sqrt { 1 0 }$ C．5 D．25

（5分）设 $\mathsf { a } { = } \mathsf { l } \mathsf { g } \mathsf { e }$ ${ \mathsf b } = { \mathsf { \Omega } } ( { \mathsf { I } } { \mathsf { g } } { \mathsf { e } } ) { \mathsf { \Omega } } ^ { 2 }$ $\mathsf { c } { \mathsf { = } } \mathsf { l } _ { \mathsf { g } } \sqrt { \mathsf { e } } .$ ，则（ ）A $a > b > c$ B $c > a > b$ C $a > c > b$ D $\mathtt { c } > \mathsf { b } > \mathsf { a }$

（5分）双曲线 $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 6 } - \frac { { \bf y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$ 的渐近线与圆 $( x - 3 ) 2 + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r > 0 )$ 相切，则r= （ A $\sqrt { 3 }$ B．2 C．3 D．6

（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C： $y ^ { 2 } = 8 x$ 相交于A、B两点， F为C的焦点，若 $\vert F A \vert = 2 \vert F B \vert$ ，则k=（　　） A $\frac 1 3$ B． $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D． $\frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 }$

（5分）设等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathsf { I S } _ { \mathsf { n } }$ ．若 $\mathsf { a } _ { 1 } = 1 , ~ \mathsf { S } _ { 6 } = 4 \mathsf { S } _ { 3 }$ ，则 $\ a _ { 4 } = \_ { 3 }$

（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成 $4 5 ^ { \circ }$ 角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于 $\frac { 7 \pi } { 4 }$ ，则球O的表面积等于　8π

（12分）设 $\triangle A B C$ 的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c， ${ \mathsf { c o s } } \ \left( { \mathsf { A } } - { \mathsf { C } } \right) \ { + } { \mathsf { c o } }$ $s 8 = \frac { 3 } { 2 } , b ^ { 2 } = a c$ ，求B

（12分）如图，直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，AB⊥AC，D、E分别为 $\mathsf { I A A } _ { 1 } , ~ \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C }$ 的中点， $\tt D E \bot$ 平面 ${ \mathsf { B C C } } _ { 1 }$

（Ⅰ）证明： $A B = A C$

（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为 ${ \mathfrak { 6 0 } } ^ { \circ }$ ，求 $. \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C }$ 与平面BCD所成的角的大小

（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率