2009 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

4．若函数 $y=f(x)$ 是函数 $y=\mathbf{a}^{\mathrm{x}}(a>0$ ，且 $\mathbf{a} \neq 1)$ 的反函数，且 $f(2)=1$ ，则 $f(x)=$

5．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为正数，且 $a_{3} \bullet a_{9}=2 a_{5}^{2}, a_{2}=1$ ，则 $a_{1}=$

6．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。其中，为真命题的是

7．已知 $\triangle A B C$ 中，$\angle A, \angle B, \angle C$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 。若 $\mathrm{a}=\mathrm{c}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ，且 $\angle A=75^{\circ}$ ，则 $\mathrm{b}=$

8．函数 $f(x)=(x-3) e^{x}$ 的单调递增区间是

9．函数 $y=2 \cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1$ 是

10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以 $A$ 为起点，$E$ 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 | | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $A$ | 0 | 5 | 4 | 5 | 6 | | $B$ | 5 | 0 | 7 | 6 | 2 | | $C$ | 4 | 7 | 0 | 9 | 8.6 | | $D$ | 5 | 6 | 9 | 0 | 5 | | $E$ | 6 | 2 | 8.6 | 5 | 0 |

11．某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： | 队员 $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 三分球个数 | $a_{1}$ | $a_{2}$ | $a_{3}$ | $a_{4}$ | $a_{5}$ | $a_{6}$ |  图1 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 $\_\_\_\_$ ，输出的 $S=$ $\_\_\_\_$。 （注：框图中的赋值符号＂＝＂也可以写成＂←＂或＂：＝＂）

12．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 $1 \sim 200$ 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（ $1 \sim 5$ 号， $6 \sim 10$ 号，⋯， 196 $\sim 200$ 号）。若第 5 组抽出的号码为 22 ，则第 8 组抽出的号码应是 $\_\_\_\_$ 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 $\_\_\_\_$人。  图2

13．以点 $(2,-1)$ 为圆心且与直线 $x+y=6$ 相切的圆的方程是 $\_\_\_\_$

14．（坐标系与参数方程选做题）若直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t, \\ y=2+3 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与直线 $4 x+k y=1$ 垂直，则常数 $k=$ $\_\_\_\_$。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，点A， $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 是圆 $O$ 上的点，且 $A B=4, \angle A C B=30^{\circ}$ ，则圆 $O$ 的面积等于 $\_\_\_\_$。  图3

16．（本小题满分 12 分） 已知向量 $a=(\sin \theta,-2)$ 与 $b=(1, \cos \theta)$ 互相垂直，其中 $\theta=\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ． （1）求 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的值； （2）若 $5 \cos (\theta-\varphi)=3 \sqrt{5 \cos \varphi}, 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\cos \varphi$ 的值。 ## 17．（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥 $P-E F G H$ ，下半部分是长方体 $A B C D-E F G H$ 。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。 （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线 $B D \perp$ 平面 $P E G$ ．  图4  图5  图6

18．（本小题满分 13 分） 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位： cm ），获得身高数据的茎叶图如图7。 | 甲班 | | | | 乙班 | | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | | 2 | 18 | 1 | | | | 9 | 0 | 17 | 0 | 3 | 6 | | 8 | 2 | 16 | 2 | 5 | 8 | | | 8 | 15 | 9 | | | | 图7 | | | | | | （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差； （3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm的同学被抽中的概率。

19．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，椭圆 G 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 12 。圆 $C_{k}: x^{2}+y^{2}+2 k y-4 y-21=0(k \in R)$ 的圆心为点 $A_{k}$ 。 （1）求椭圆 G 的方程； （2）求 $\Delta A_{k} F_{1} F_{2}$ 面积； （3）问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 G ？请说明理由。

20．（本小题满分 14 分） 已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图像上一点。等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $f(n)-c$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n}>0\right)$ 的首项为 c ，且前 n 项和 $s_{n}$ 满足 $s_{n}-s_{n-1}=\sqrt{s_{n}}+\sqrt{s_{n-1}}(n \geqslant 2)$ （1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）若数列 $\left\{\frac{1}{b_{n} b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问满足 $T_{n}>\frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？

21．（本小题满分14分）。 已知二次函数 $y=g(x)$ 的导函数的图像与直线 $y=2 x$ 平行，且 $y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$ 。设函数 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ 。 （1）若曲线 $y=f(x)$ 上的点 $p$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值； ②$k(k \in R)$ 如何取值时，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点，并求出零点。