2009 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2009•陕西）设不等式 $x^{2}-x \leq 0$ 的解集为 $M$ ，函数 $f(x)=\ln (1-|x|)$ 的定义域为 N ，则 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}$ 为（ ）

2．（5分）（2009•陕西）已知 $z$ 是纯虚数，$\frac{z+2}{1-i}$ 是实数，那么 $z$ 等于（ ） A． 2 i B．iC．－i D．-2 i

3．（5分）（2009•陕西）函数 $f(x)=\sqrt{2 x-4}(x \geqslant 4)$ 的反函数为（ ）

4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$ 所截得的弦长为（ 

5．（5分）$\left(2009 \cdot\right.$ 陕西）若 $3 \sin \alpha+\cos \alpha=0$ ，则 $\frac{1}{2}$ 的值为（） $\cos ^{2} \alpha+\sin 2 \alpha$

6．（5分）（2009•陕西）若（1－2x）${ }^{2009}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{2009} x^{2009} ~(x \in R)$ ，则 $\frac{\mathrm{a}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为（ ）

7．（5分）（2009•陕西）＂$m>n>0$＂是＂方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆＂的 ）

8．（5分）（2009•陕西）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， M 是 BC 的中点， $\mathrm{AM}=1$ ，点 P 在 AM 上且满足学 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$ 等于（ ）

9．（5分）（2009•陕西）从 $0,1,2,3,4,5$ 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

10．（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$ ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

11．（5分）（2009•陕西）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 1 \\ x-y \geqslant-1 \\ 2 x-y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，目标函数 $z=a x+2 y$ 仅在点 $1,0)$ 处取得最小值，则实数 a 的取值范围是（）

12．（5分）（2009•陕西）定义在 R 上的偶函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足：对任意的 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(-\infty, 0$ ］ $\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ ，有 $\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)>0$ ．则当 $n \in N^{*}$ 时，有（）

13．（4分）（2009•陕西）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6}=S_{3}=12$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{n^{2}}=1$

14．（4分）（2009•陕西）某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 $26,15,13$ ，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 $\_\_\_\_$ 8人。

15．（4分）（2009•陕西）如图球 O 的半径为 2 ，圆 $\mathrm{O}_{1}$ 是一小圆， $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=\sqrt{2}, \mathrm{A,B}$ 是圆 $\mathrm{O}_{1}$上两点，若 $A, B$ 两点间的球面距离为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\angle A O_{1} B=-\frac{\pi}{2}$－ 

16．（4分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为一 $\frac{1}{\mathrm{n}+1}$ —。

17．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi), x \in R$（其中 $\left.\mathrm{A}>0, ~ \omega>0, ~ 0<\phi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$ ． （I）求 f （ x ）的解析式； （II）当 $\mathrm{x} \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的值域。

18．（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{AC}=\mathrm{AA}_{1}= \sqrt{3}, \angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$ ． （1）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ； （2）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的余弦值． 

19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量 $\xi$ 的概率分布如下： | $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | p | 0.1 | 0.32 a | a | | （I）求 a 的值和 $\xi$ 的数学期望； （II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ． （I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值； （II）求 $f(x)$ 的单调区间； （III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ． （I）求双曲线 C 的方程； （II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围． 

22．（14分）（2009 •陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ； （1）猜想数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 的单调性，并证明你的结论； （II）证明：$\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant \frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$ ．