2009 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2009•陕西）设不等式 $x^{2}-x \leq 0$ 的解集为 $M$ ，函数 $f(x)=\ln (1-|x|)$ 的定义域为 N ，则 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}$ 为（ ）

2．（5分）（2009•陕西）若 $\tan \alpha=2$ ，则 $\frac{2 \sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+2 \cos \alpha}$ 的值为

3．（5分）（2009•陕西）函数 $f(x)=\sqrt{2 x-4}(x \geqslant 4)$ 的反函数为

4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线被圆 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$ 所截得的弦长为（ 

5．（5分）（2009•陕西）某单位共有老、中、青职工 430 人，其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为（）

6．（5分）（2009•陕西）若 $(1-2 x)^{2009}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{2009} x^{2009} ~(x \in R)$ ，则 $\frac{\mathrm{a}_{1}}{2}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为

7．（5分）（2009 •陕西）＂$m>n>0$＂是＂方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆＂的 ）

8．（5分）（2009•陕西）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， M 是 BC 的中点， $\mathrm{AM}=1$ ，点 P 在 AM 上且满足学 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PM}}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}})$ 等于

9．（5分）（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数 ，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）

10．（5分）（2009•陕西）定义在 R 上的偶函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足：对任意的 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in[0,+\infty) ~( x_{1} \neq x_{2}$ ），有 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}<0$ ．则

11．（5分）（2009•陕西）若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$ ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

12．（5 分）（2009•陕西）设曲线 $y=x^{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$ 在点（1，1）处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \cdot \ldots \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的值为（ ）

13．（4分）（2009•陕西）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6}=S_{3}=12$ ，则 $a_{n}=$ $\_\_\_\_$ 2n ．

14．（4分）（2009•陕西）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 1 \\ x-y \geqslant-1 \\ 2 x-y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，则 $x+2 y$ 的最小值是 1 ，最大值是 $\_\_\_\_$ 11。

15．（4分）（2009•陕西）已知球 $O$ 的半径为 2 ，圆 $O_{1}$ 是一小圆，$O_{1} O=\sqrt{2}, A , B$ 是圆 $O_{1}$上两点，若 $\angle A O_{1} B=\frac{\pi}{2}$ ，则 $A, B$ 两点间的球面距离为 $ -\frac{2 \pi}{3}- $

16．（4分）（2009•陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 $26,15,13$ ，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 $\_\_\_\_$ 8人。

17．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi), x \in R$（其中A {{QUESTIONS_HTML}}gt;0, \omega>0,0 \left.<\phi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的周期为 $\pi$ ，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$ ． （I）求 f （ x ）的解析式； （II）当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ ，求 $f(x)$ 的最值．

18．（12分）（2009•陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 $0,1,2$的概率分别为 $0.4,0.5,0.1$ （I）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率； （II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

19．（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{AC}=\mathrm{AA}_{1}= \sqrt{3}, \angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$ ． （1）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ； （2）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的余弦值。 

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x-1, a \neq 0$ （1）求 $f(x)$ 的单调区间； （2）若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，直线 $y=m$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，求 $m$ 的取值范围。

21．（12分）（2009•陕西）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}, n \in N^{*}$ ． （1）令 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ，证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列； （2）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

22．（14分）（2009•陕西）已知双曲线C的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ． （I）求双曲线 C 的方程； （II）如图， P 是双曲线 C 上一点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PB}}, \lambda \in\left[\frac{1}{3}, 2\right]$ ，求 $\triangle \mathrm{AOB}$ 面积的取值范围．