2009 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．下列命题是真命题的为

2．函数 $y=\frac{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}{x}$ 的定义域为

3． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有 30 名，参加乙项的学生有 25 名，则仅参加了一项活动的学生人数为

4．函数 $f(x)=(1+\sqrt{3} \tan x) \cos x$ 的最小正周期为

5．已知函数 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的偶函数，若对于 $x \geq 0$ ，都有 $f(x+2)=f(x)$ ，且当 $x \in[0,2)$ 时，$f(x)=\log _{2}(x+1)$ ，则 $f(-2008)+f(2009)$ 的值为

6．若 $C_{n}^{1} x+C_{n}^{2} x^{2}+\cdots+C_{n}^{n} x^{n}$ 能被 7 整除，则 $x, n$ 的值可能为

7．设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两个焦点，若 $F_{1}, F_{2}, P(0,2 b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为

8．公差不为零的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项， $S_{8}=32$ ，则 $S_{10}$ 等于

9．如图，在四面体 $A B C D$ 中，截面 $P Q M N$ 是正方形，则在下列命题中，错误的为

10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为

11．如图所示，一质点 $P(x, y)$ 在 $x O y$ 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 $x$ 轴上的投影点 $Q(x, 0)$ 的运动速度 $V=V(t)$ 的图象大致为     A B C D

12．若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y=x^{3}$ 和 $y=a x^{2}+\frac{15}{4} x-9$ 都相切，则 $a$ 等于

13．已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(1,3), \vec{c}=(k, 2)$ ，若 $(\vec{a}-\vec{c}) \perp \vec{b}$ 则 $k=$

14．体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 $O$ 的表面积相等，则球 $O$ 的体积等于 $\_\_\_\_$。

15．若不等式 $\sqrt{4-x^{2}} \leq k(x+1)$ 的解集为区间 $[a, b]$ ，且 $b-a=1$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

16．设直线系 $M: x \cos \theta+(y-2) \sin \theta=1(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ ，对于下列四个命题： $A$ ．存在一个圆与所有直线相交 $B$ ．存在一个圆与所有直线不相交 C．存在一个圆与所有直线相切 D ．$M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的代号）． ## 三．

17．（本小题满分 12 分） 设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+6 x-a$ （1）对于任意实数 $x, f^{\prime}(x) \geq m$ 恒成立，求 $m$ 的最大值； （2）若方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根，求 $a$ 的取值范围

18．（本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审。假设评审结果为＂支持＂或＂不支持＂的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。若某人获得两个＂支持＂，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个＂支持＂，则给予 5 万元的资助；若未获得＂支持＂，则不予资助．求： （1）该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率．

19．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A=\frac{\pi}{6},(1+\sqrt{3}) c=2 b$ ． （1）求 $C$ ； （2）若 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=1+\sqrt{3}$ ，求 $a, b, c$ ．

20．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，  $P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A D=4, A B=2$ ．以 $B D$ 的中点 $O$ 为球心、 $B D$ 为直径的球面交 $P D$ 于点 $M$ 。 （1）求证：平面 $A B M \perp$ 平面 $P C D$ ； （2）求直线 $P C$ 与平面 $A B M$ 所成的角； （3）求点 $O$ 到平面 $A B M$ 的距离．

21．（本小题满分 12 分） 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ （1）求 $S_{n}$ ； ②$b_{n}=\frac{S_{3 n}}{n \cdot 4^{n}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$ ．

22．（本小题满分 14 分） 如图，已知圆 $G:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1$ 的内接 $\triangle A B C$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点 （1）求圆 $G$ 的半径 $r$ ； （2）过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E, F$两点，证明：直线 $E F$ 与圆 $G$ 相切．  ## 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）