2009 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）已知集合 $M=\{x \mid-3<x \leqslant 5\}, N=\{x \mid-5<x<5\}$ ，则 $M \cap N=$

（2）已知复数 $z=1-2 i$ ，那么 $\frac{1}{\bar{z}}=$

（3）平面向量 a 与 b 的夹角为 $60^{0}, a=(2,0),|b|=1$ 则 $|a+2 b|=$

（4）已知圆 $C$ 与直线 $x-y=0$ 及 $x-y-4=0$ 都相切，圆心在直线 $x+y=0$ 上，则圆 $C$ 的方程为

（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（6）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{6}}{S_{3}}=3$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}}=$

（7）曲线 $\mathrm{y}=\frac{x}{x-2}$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线方程为

（8）已知函数 $f(x)=\mathrm{Acos}(\omega x+\varphi)$ 的图象如图所示，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{3}$ ，则 $f(0)=$

（9）已知偶函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 单调增加，则满足 $f(2 x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)$ 的 x取值范围是

（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 $a_{1}, a_{2}$ ，。。。 $a_{N}$ ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

（11）正六棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCDEF}$ 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥 $\mathrm{D}-\mathrm{GAC}$ 与三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{GAC}$ 体积之比为

（12）若 $x_{1}$ 满足 $2 x+2^{x}=5, x_{2}$ 满足 $2 x+2 \log _{2}(x-1)=5, x_{1}+x_{2}=$

（13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 $1: 2: 1$ ，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用 寿命的平均值分别为 $980 \mathrm{~h}, 1020 \mathrm{~h}, 1032 \mathrm{~h}$ ，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 $\_\_\_\_$ h．

（14）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $6 S_{5}-5 S_{3}=5$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$

（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。    则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $m^{3}$

（16）以知 F 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ 的左焦点，$A(1,4), P$ 是双曲线右支上的动点，则 $|P F|+|P A|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

（17）（本小题满分 12 分） 如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 都在同一个与水平面垂直的平面内， $\mathrm{B}, \mathrm{D}$ 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 $75^{0}, 30^{0}$ ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 $60^{\circ}, A C=0.1 \mathrm{~km}$ 。试探究图中 $B, D$ 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B ， D 的距离（计算结果精确到 $0.01 \mathrm{~km}, \sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{6} \approx$ 2．449） 

（18）（本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{DF}$ 的中点。 （I）若平面 $\mathrm{ABCD} \perp$ 平面 DCEF ，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 

（19）（本小题满分 12 分） 某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ 。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 $1: 3: 6$ 。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （I）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； （II）若目标被击中 2 次，$A$ 表示事件＂第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 $"$ ，求 $P(A)$

（20）（本小题满分 12 分） 已知，椭圆 C 过点 $\mathrm{A}\left(1, \frac{3}{2}\right)$ ，两个焦点为 $(-1,0),(1,0)$ 。 （I）求椭圆 C 的方程； （II） $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

（21）（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-a x+(a-1) \ln x, a>1$ （I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性； （II）证明：若 $a<5$ ，则对任意 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in(0,+\infty), \mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}$ ，有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>-1 。$

（22）（本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲 已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ，  $D$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆劣弧 $\overparen{A C}$ 上的点（不与点 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 重合），延长 BD 至 E 。 （I）求证： AD 的延长线平分 $\angle \mathrm{CDE}$ ； （II）若 $\angle \mathrm{BAC}=30, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 中 BC 边上的高为 $2+\sqrt{3}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆的面积。

（23）（本小题满分 10 分）选修 $4-4$ ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 x 0 y 中，以 0 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 $\rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=1, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。 （I）写出 C 的直角坐标方程，并求 M ， N 的极坐标； （II）设 MN 的中点为 P ，求直线 OP 的极坐标方程。

（24）（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲 设函数 $f(x)=|x-1|+|x-a|$ 。 （ I ）若 $a=-1$ ，解不等式 $f(x) \geq 3$ ； （II）如果 $\forall x \in R, f(x) \geq 2$ ，求 $a$ 的取值范围。