2012 北京卷 数学

（5分）在复平面内，复数 $\frac { 1 0 \mathrm { i } } { 3 + \mathrm { i } }$ 对应的点的坐标为（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

（5分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等比数列，下面结论中正确的是（　　） A $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { + a } _ { 3 } \geqslant 2 \mathtt { a } _ { 2 }$ B $\mathsf { a } _ { 1 } { } ^ { 2 + } \mathsf { a } _ { 3 } { } ^ { 2 } \geqslant { 2 \mathsf { a } _ { 2 } } ^ { 2 }$ C．若 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 3 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 1 } \mathtt { = a } _ { 2 }$ D．若 $\mathsf { a } _ { 3 } > \mathsf { a } _ { 1 }$ ，则 $\mathtt { a } _ { 4 } > \mathtt { a } _ { 2 }$

（5分）某棵果树前n 年的总产量 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，若 a=3， $b = \sqrt { 3 } , \angle A = \frac { \pi } { 3 }$ ，则∠C 的大小为 $- { \frac { \pi } { 2 } } -$

（5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则 $\overrightarrow { D E } \cdot \overrightarrow { C B }$ 的值为　1

（14 分）如图 1，在 Rt△ABC 中， $\angle C = 9 0 ^ { \circ }$ ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将 $\triangle \mathsf { A D E }$ 沿DE 折起到 $\triangle \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { E }$ 的位置，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F \bot C D }$ 如图 2

（1）求证：DE∥平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C B }$

（2）求证： $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { F } \bot \mathsf { B } \mathsf { E }$

（3）线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B }$ 上是否存在点Q，使 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } \bot$ 平面DEQ？说明理由

图1

图2

（14分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的一个长轴顶点为A（2，0），

离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，直线 ${ \mathsf { y } } { = } { \mathsf { k } } \ \left( { \mathsf { x } } - 1 \right)$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）当 $\triangle \mathsf { A M N }$ 的面积为 $J { \frac { \sqrt { 1 0 } } { 3 } }$ 时，求k的值