2013 天津卷 · 文 数学

已知集合$A = {x$∈R| |x|≤$2}, B = {x$∈R| x≤1}, 则

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $n$ 的值为

设 $a, b \in \boldsymbol{R}$ ，则＂$(a-b) a^{2}<0$＂是＂$a<b$＂的

已知过点 $P(2,2)$ 的直线与圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=5$ 相切，且与直线 $a x-y+1=0$ 垂直，则 $a=$

函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最小值是

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\boldsymbol{R}$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增．若实数 $\boldsymbol{a}$ 满足 $f\left(\log _{2} a\right)+f\left(\log _{\frac{1}{2}} a\right) \leq 2 f(1)$ ，则 $a$ 的取值范围是

（9）$i$ 是虚数单位．复数 $(3+i)(1-2 i)=$ $\_\_\_\_$ ．

（14）设 $a+b=2, b>0$ ，则 $\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

三．

在平行四边形ABCD中, $AD = 1, , E$为CD的中点. 若, 则AB的长为 .

（16）（本小题满分13分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A=3 c \sin B, a=3, \cos B=\frac{2}{3}$ ．
（I）求 $b$ 的值；
（II）求 $\sin \left(2 B-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值．

（17）（本小题满分13分）
如图，
三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，
侧棱 $A_{1} A \perp$ 底面 $A B C$ ，且各棱长均相等。 $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点．

（I）证明 $E F / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；
（II）证明平面 $A_{1} C D \perp$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ ；
（III）求直线 $B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值．

（19）（本小题满分 14 分）
已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $-2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明 $S_{n}+\frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6}\left(n \in N^{*}\right)$ ．