2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．若集合 $A=\left\{i, i^{2}, i^{3}, i^{4}\right\}$（ $i$ 是虚数单位），$B=\{1,-1\}$ ，则 $A \cap B$ 等于

2．下列函数为奇函数的是（

3．若双曲线 $E: \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线 $E$ 上，且 $\left|P F_{1}\right|=3$ ，则 $\left|P F_{2}\right|$ 等于

4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： | 收入 $x \quad($ 万元 $)$ | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 支出 $y \quad($ 万元 $)$ | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 | 根据上表可得回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ ，其中 $\hat{b}=0.76, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$ ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为

5．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y \geq 0, \\ x-y \leq 0, \\ x-2 y+2 \geq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=2 x-y$ 的最小值等于

6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 

7．若 $l, m$ 是两条不同的直线，$m$ 垂直于平面 $\alpha$ ，则＂$l \perp m$＂是＂$l / / \alpha$ 的

8．若 $a, b$ 是函数 $f(x)=x^{2}-p x+q(p>0, q>0)$ 的两个不同的零点，且 $a, b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于

9．已知 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|=\frac{1}{t},|\overrightarrow{A C}|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{4 \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ ，则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值等于

10．若定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=-1$ ，其导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)>k>1$ ，则下列结论中一定错误的是

11．$(x+2)^{5}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数等于 $\_\_\_\_$ ．（用数字作答）

12．若锐角 $\triangle A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，且 $A B=5, A C=8$ ，则 $B C$ 等于 $\_\_\_\_$ ．

13．如图，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$ ，函数 $f(x)=x^{2}$ ，若在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 $\_\_\_\_$。 

14．若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+6, x \leq 2, \\ 3+\log _{a} x, x>2,\end{array} \quad(a>0\right.$ 且 $a \neq 1)$ 的值域是 $[4,+\infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

15．一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，其中 $x_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ 称为第 $k$ 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1 ，或者由 1 变为 0 ） 已知某种二元码 $x_{1} x_{2} \cdots x_{7}$ 的码元满足如下校验方程组：$\left\{\begin{array}{l}x_{4} \oplus x_{5} \oplus x_{6} \oplus x_{7}=0, \\ x_{2} \oplus x_{3} \oplus x_{6} \oplus x_{7}=0, \\ x_{1} \oplus x_{3} \oplus x_{5} \oplus x_{7}=0,\end{array}\right.$ 其中运算 $\oplus$ 定义为： $0 \oplus 0=0,0 \oplus 1=1,1 \oplus 0=1,1 \oplus 1=0$ ． 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 $k$ 位发生码元错误后变成了 1101101 ，那么利用上述校验方程组可判定 $k$ 等于 $\_\_\_\_$ ．

16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 ．个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． （I）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （II）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望。

17．如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， $\mathrm{AB}^{\wedge}$ 平面 $\mathrm{BEC}, \mathrm{BE}^{\wedge} \mathrm{EC}, \mathrm{AB}=\mathrm{BE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{G}$ ， F 分别是线段 $\mathrm{BE}, \mathrm{DC}$ 的中点． （ I ）求证：$G F / /$ 平面 $A D E$ ； （II）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 

18．．已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>b>0)$ 过点 $(0, \sqrt{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．  （I）求椭圆 E 的方程； （II）设直线 $x=m y-1,(m \hat{\imath} R)$ 交椭圆 E 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点， 判断点 $\mathrm{G}\left(-\frac{9}{4}, 0\right)$ 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

19．已知函数 $\mathrm{f}(x)$ 的图像是由函数 $g(x)=\cos x$ 的图像经如下变换得到：先将 $g(x)$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 $\frac{p}{2}$ 个单位长度． （I）求函数 $\mathrm{f}(x)$ 的解析式，并求其图像的对称轴方程； （II）已知关于 $x$ 的方程 $\mathrm{f}(x)+\mathrm{g}(x)=m$ 在 $[0,2 p)$ 内有两个不同的解 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ． ①求实数 $m$ 的取值范围； ②证明： $\cos (a-b)=\frac{2 m^{2}}{5}-1$ ．

20．已知函数 $\mathrm{f}(x)=\ln (1+x), g(x)=k x,(\mathrm{k} \hat{\mathrm{I}} R)$ ， （I）证明：当 $x>0$ 时， $\mathrm{f}(x)<x$ ； （II）证明：当 $k<1$ 时，存在 $x_{0}>0$ ，使得对任意 $x \hat{\mathrm{I}}\left(0, x_{0}\right)$ ，恒有 $\mathrm{f}(x)>g(x)$ ； （III）确定 k 的所以可能取值，使得存在 $t>0$ ，对任意的 $x \hat{\mathrm{I}}(0, \mathrm{t})$ ，恒有 $|\mathrm{f}(x)-g(x)|<x^{2}$ ．