2020 新课标 III 卷 数学

已知集合 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 \right\}$ $B = \left\{ x | 3 < x < 1 5 \right\}$ ，则A∩B中元素的个数为（ ）

若 ${ \overline { { z } } } \left( 1 + i \right) = 1 - i$ ，则z=（ ）

设一组样本数据 $x _ { 1 } , \ x _ { 2 } , \ldots , \ x _ { n }$ 的方差为0.01，则数据 $1 0 x _ { 1 }$ $1 0 x _ { 2 } , ~ . . . , ~ 1 0 x _ { n }$ 的方差为（ ）

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的 $L o g i s t i c$ 模型： $I ( t ) { = } \frac { K } { 1 { + } { \mathrm { e } } ^ { - 0 . 2 3 ( t - 5 3 ) } }$ ，其中K为最大确诊病例数．当 $I ( t ^ { * } ) { = } 0 . 9 5 K !$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t ^ { * }$ 约为（ ）（ln19≈3）

已知 $\sin \theta + \sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 3 } } \right) = 1$ ，则 $\sin ( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } ) =$ （ ）

在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ${ \overrightarrow { A C } } \cdot { \overrightarrow { B C } } { = } 1$ ，则点C的轨迹为（ ）

设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C： $\scriptstyle y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 交于D，E两点，若 $O D \bot O E$ ，则C的焦点坐标为（ ）

点(0，﹣1)到直线 $y = k \big ( x + 1 \big )$ 距离的最大值为（ ）

下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

在 $\triangle A B C$ 中， $\cos C { = } { \frac { 2 } { 3 } }$ ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）

已知函数 $\scriptstyle \{ { \mathcal { f } } ( x ) = \sin x + { \frac { 1 } { \sin x } }$ ，则（ ）

若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { c } { { x + y \geq 0 , } } \\ { { 2 x - y \geq 0 , } } \\ { { x \leq 1 , } } \end{array} \right.$ ，，则 $\scriptstyle \left| z = 3 x + 2 y \right.$ 的最大值为

设双曲线C： ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$

$( a { > } 0 , b { > } 0 )$ 的一条渐近线为 $y = \sqrt { 2 } x$ ，则C的离心率为

设函数 $f ( x ) = { \frac { \mathbf { e } ^ { x } } { x + a } }$ ．若 $f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { e } { 4 }$ ，则a=\_

已知圆锥 底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为的

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

<table><tr><td colspan="1" rowspan="1">锻炼人次空气质量等级</td><td colspan="1" rowspan="1">[0,200]</td><td colspan="1" rowspan="1">(200，400]</td><td colspan="1" rowspan="1">(400,600]</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">1（优）</td><td colspan="1" rowspan="1">2</td><td colspan="1" rowspan="1">16</td><td colspan="1" rowspan="1">25</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">2（良）</td><td colspan="1" rowspan="1">5</td><td colspan="1" rowspan="1">10</td><td colspan="1" rowspan="1">12</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">3（轻度污染）</td><td colspan="1" rowspan="1">6</td><td colspan="1" rowspan="1">7</td><td colspan="1" rowspan="1">8</td></tr><tr><td>4（中度污染）</td><td>7</td><td>2</td><td>0</td></tr></table>

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>人次≤400</td><td rowspan=1 colspan=1>人次&gt;400</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>空气质量好</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>空气质量不好</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

附： $K ^ { 2 } = \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) }$

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>P(K2≥k)</td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

如图，在长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，点E，F 分别在棱 $D D _ { 1 }$ $B B _ { 1 }$ 上，且 $2 D E = E D _ { 1 }$ $B F = 2 F B _ { 1 }$ ．证明：

（1）当 $A B = B C$ 时， $E F \bot A C$ ；

（2）点 $C _ { \imath }$ 在平面 $A E F$ 内

已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 1 ( 0 < m < 5 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 }$ ，A，B分别为C的左、右顶点

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且| $B P$ | |= $B Q \vert$ ， $B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = 2 - t - t ^ { 2 } , } \\ { y = 2 - t + t ^ { 2 } } \end{array} \right. }$ (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

（1）求| $A B \parallel$ ：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.