2021 新课标 I 卷 数学（新高考一卷）

设集合 $A=\{x \mid-2<x<4\}, B=\{2,3,4,5\}$ ，则 $A \cap B=()$

已知 $z=2-\mathrm{i}$ ，则 $z(\bar{z}+\mathrm{i})=(\quad)$

已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

下列区间中，函数 $f(x)=7 \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 单调递增的区间是（ ）

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $\left|M F_{1}\right| \cdot\left|M F_{2}\right|$ 的最大值为（ ）

若 $\tan \theta=-2$ ，则 $\frac{\sin \theta(1+\sin 2 \theta)}{\sin \theta+\cos \theta}=()$

若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）

有 6 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$ ，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件 ＂第一次取出的球的数字是 1 ＂，乙表示事件＂第二次取出的球的数字是 2 ＂，丙表示事件＂两次取出的球的数字之和是 8 ＂，丁表示事件＂两次取出的球的数字之和是 7 ＂，则（ ）

有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ ，其中 $y_{i}=x_{i}+c( i=1,2, \cdots, n), c$ 为非零常数，则

已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_{1}(\cos \alpha, \sin \alpha), P_{2}(\cos \beta,-\sin \beta), P_{3}(\cos (\alpha+\beta), \sin (\alpha+\beta))$ ， $A(1,0)$ ，则

已知点 $P$ 在圆 $(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$ 上，点 $A(4,0) , B(0,2)$ ，则（ ）

在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$ ，其中 $\lambda \in[0,1]$ ， $\mu \in[0,1]$ ，则（ ）

已知函数 $f(x)=x^{3}\left(a \cdot 2^{x}-2^{-x}\right)$ 是偶函数，则 $a=$

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F, P$ 为 $C$ 上一点，$P F$ 与 $x$ 轴垂直，$Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $P Q \perp O P$ ，若 $|F Q|=6$ ，则 $C$ 的准线方程为

函数 $f(x)=|2 x-1|-2 \ln x$ 的最小值为

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
$20 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, ~ 20 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1}=240 \mathrm{dm}^{2}$ ，对折 2 次共可以得到 $5 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, ~ 10 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}, ~ 20 \mathrm{dm} \times 3 \mathrm{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2}=180 \mathrm{dm}^{2}$ ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k=1}^{n} S_{k}= \mathrm{dm}^{2}$ ．

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数，} \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．

记 $\triangle A B C$ 是内角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b^{2}=a c$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D \sin \angle A B C=a \sin C$.
（1）证明：$B D=b$ ；
（2）若 $A D=2 D C$ ，求 $\cos \angle A B C$ ．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1}(-\sqrt{17}, 0) , F_{2}(\sqrt{17}, 0)\left|M F_{1}\right|-\left|M F_{2}\right|=2$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设点 $T$ 在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $\mathrm{A} , B$ 两点和 $P, Q$ 两点，且 $|T A| \cdot|T B|=|T P| \cdot|T Q|$ ，求直线 $A B$ 的斜率与直线 $P Q$ 的斜率之和．