2025 新课标 I 卷 数学　·　真题与答案解析

1．$(1+5 \mathrm{i}) \mathrm{i}$ 的虚部为

2．设全集 $U=\{x \mid x$ 为小于 9 的正整数 $\}, ~ A=\{1,3,5\}$ ，则 $\complement A$ 中的元素个数为

3．双曲线虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，求离心率为

4．已知点 $(a, 0)(a>0)$ 是函数 $y=2 \tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图像的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为

5．已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 2 的偶函数，当 $2 \leq x \leq 3$ 时，$f(x)=5-2 x$ ，则$f\left(-\frac{3}{4}\right)=$

6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位 $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），则真风为

7．已知圆 $x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r>0)$ 上到直线 $y=\sqrt{3} x+2$ 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 $r$的取值范围是

8．已知 $2+\log _{2} x=3+\log _{3} y=5+\log _{5} z$ ，则 $x, y, z$ 的大小关系不可能为

9． 在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D$ 为 $B C$ 中点，则

10． 设抛物线 $C: y^{2}=6 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A , B$ ，过 $F$ 且垂直于 $A B$ 的直线交 $l: y=-\frac{3}{2} x$ 于 $E$ ，过 $A$ 作 $x=-\frac{3}{2}$ 的垂线，垂足为 $D$ ，则

11． $\cos 2 A+\cos 2 B+2 \sin C=2, S_{\triangle A B C}=\frac{1}{4}, \cos A \cos B \sin C=\frac{1}{4}$

12． 直线 $y=2 x+5$ 是曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

13． 若一个等比数列的前 4 项和为 4 ，前 8 项和为 68 ，则该等比数列的公比为 $\_\_\_\_$．

14．一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数 $X$ ，则 $E(X)=$ $\_\_\_\_$．