2024 新课标 I 卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\left\{x \mid-5<x^{3}<5\right\}, B=\{-3,-1,0,2,3\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．若 $\frac{z}{z-1}=1+\mathrm{i}$ ，则 $z=()$

3．已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ ，若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$ ，则 $x=$（ ）

4．已知 $\cos (\alpha+\beta)=m, \tan \alpha \tan \beta=2$ ，则 $\cos (\alpha-\beta)=$（ ）

5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）

7．当 $x \hat{\mathbf{1}}[0,2 \pi]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为（ ）

8．已知函数为 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ ，且当 $x<3$ 时 $f(x)=x$ ，则下列结论中一定正确的是（

9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^{2}\right)$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{x}, s^{2}\right)$ ，则（ ）（若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$ ， $P(Z<u+\sigma) \approx 0.8413)$

10．设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$ ，则（ ）

11．造型 $\boldsymbol{\chi}$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $\boldsymbol{C}$ 的一部分。已知 $\boldsymbol{C}$ 过坐标原点 $\boldsymbol{O}$ ．且 $\boldsymbol{C}$ 上的点满足横坐标大于 -2 ，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a<0)$ 的距离之积为 4 ，则（ ）

12．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $\boldsymbol{C}$ 于 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$两点，若 $\left|F_{1} A\right|=13,|A B|=10$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的离心率为

13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$ ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$。

15．记 $\triangle A B C$ 内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C=\sqrt{2} \cos B, a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2} a b$
（1）求 $B$ ；
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$ ，求 $c$ ．

16．已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上两点．
（1）求 $C$ 的离心率；
（2）若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 ，求 $l$ 的方程．

17．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$ ．

（1）若 $A D \perp P B$ ，证明：$A D / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）若 $A D \perp D C$ ，且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ ．

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

19．设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}(i<j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)-$ 可分数列．
（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i<j \leq 6$ ，使数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}$ 是 $(i, j)-$ 可分数列；
（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)-$ 可分数列；
（3）从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 i 和 $j(i<j)$ ，记数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)-$ 可分数列的概率为 $P_{m}$ ，证明：$P_{m}>\frac{1}{8}$ ．