指数函数　·　历年高考数学真题与解析

14. 设 $a > 0 , s \in R$ 下列各项中，能推出 $a ^ { s } > a$ 的一项是 （）

7．已知 $2^{a}=5, \log _{8} 3=b$ ，则 $4^{a-3 b}=$

16.

已知函数 $f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|A M|}{|B N|}$ 取值范围是

6．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$I(t)=\mathrm{e}^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ，$T$ 近似满足 $R_{0}$

$=1+r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_{0}=3.28, T=6$ ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为 $(\ln 2 \approx 0.69)$

6．在同一直角坐标系中，函数 $y=\frac{1}{a^{x}}, y=\log _{a}\left(x+\frac{1}{2}\right)(a>0$ 且 $a \neq 0)$ 的图象可能是（ ）

8．（5分）若 $a>b>0, ~ 0<c<1$ ，则（ ）

10．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2, x \leqslant 1 \\ -\log _{2}(x+1), x>1\end{array}\right.$ ，且 $f(a)=-3$ ，则 $f$（ $6-a )=(\quad)$

5．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\log _{2}(2-x), & x<1 \\ 2^{x-1}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(-2)+f\left(\log _{2} 12\right)=$（

15．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{x-1}, & x<1 \\ \frac{1}{3}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则使得 $f(x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范
围是 $\_\_\_\_$ $x \leq 8$ ．

20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$（ $a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 -1．

（I）求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值；
（II）证明：当 $x>0$ 时，$x^{2}<e^{x}$；
（III）证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 $x_{0}$，使得当 $x \in\left(x_{0},+\infty\right)$，恒有 $x^{2}<c e^{x}$．

3．已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}, b=\log _{2} \frac{1}{3}, c=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

7．下了函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

（10）设函数 $f(x)=x^{2}-4 x+3, g(x)=3^{x}-2$ ，集

合 $M=\{x \in R \mid f(g(x))>0\}$ ，
$N=\{x \in R \mid g(x)<2\}$ ，则 $M \cap N$ 为

（3）设 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，则＂函数 $f(x)=a^{x}$ 在 $R$ 上是减函数
＂，是＂函数 $g(x)=(2-a) x^{3}$ 在 $R$ 上是增函数＂的

6．（5分）若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f (x)=(\quad)$