2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=R, A=\{x \mid x \leq 0\}, B=\{x \mid x \geq 1\}$ ，则集合 $C_{U}(A \cup B)=$

2．设复数 $z$ 满足 $(z-2 i)(2-i)=5$ ，则 $z=$

3．已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}, b=\log _{2} \frac{1}{3}, c=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

4．已知 $m, n$ 表示两条不同直线，$\alpha$ 表示平面，下列说法正确的是 $A$ ．若 $m / / \alpha, n / / \alpha$ ，则 $m / / n$ ， B．若 $m \perp \alpha, n \subset \alpha$ ，则 $m \perp n$ $C$ ．若 $m \perp \alpha, m \perp n$ ，则 $n / / \alpha$ D．若 $m / / \alpha, m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha$

5．设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是非零向量，已知命题 $P$ ：若 $\vec{a} \bullet \vec{b}=0, \vec{b} \bullet \vec{c}=0$ ，则 $\vec{a} \bullet \vec{c}=0$ ；命题 $q$ ：若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则下列命题中真命题是

6.6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为

7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

8．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，若数列 $\left\{2^{a_{1} a_{n}}\right\}$ 为递减数列，则

9．将函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数 $A$ ．在区间 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$ 上单调递减 B．在区间 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$ 上单调．递增 $C$ ．在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减 $D$ ．在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增

10．已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 的准线上，过点 $A$ 的直线与 $C$ 在第一象限相切于点 $B$ ，记 $C$ 的焦点为 $F$ ，则直线 $B F$ 的斜率为（ ）

11．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

12．已知定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x)$ 满足： ①$f(0)=f(1)=0$ ； ②对所有 $x, y \in[0,1]$ ，且 $x \neq y$ ，有 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}|x-y|$ ．若对所有 $x, y \in[0,1],|f(x)-f(y)|<k$ ，则 $k$ 的最小值为（ ）

13．执行右侧的程序框图，若输入 $x=9$ ，则输出 $y=$ $\_\_\_\_$ ． 

14．正方形的四．个顶点 $A(-1,-1), B(1,-1), C(1,1), D(-1,1)$ 分别在抛物线 $y=-x^{2}$ 和 $y=x^{2}$ 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 $\_\_\_\_$ ． 

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$ $\_\_\_\_$ ．

16．对于 $c>0$ ，当非零实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $4 a^{2}-2 a b+4 b^{2}-c=0$ ，且使 $|2 a+b|$ 最大时，$\frac{3}{a}-\frac{4}{b}+\frac{5}{c}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$，且 $a>c$，已知 $\overrightarrow{B A} \bullet \overrightarrow{B C}=2, \cos B=\frac{1}{3}, b=3$，求： ①$a$ 和 $c$ 的值； ② $\cos (B-C)$ 的值．

18．（本小题满 $=$ 分 12 分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：  将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率； （2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$．

19．（本小题满分 12 分） 如图，$\triangle A B C$ 和 $\triangle B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B=B C=B D=2, \angle A B C=\angle D B C=120^{\circ}, E, F$ 分别为 $A C, D C$ 的中点． （1）求证：$E F \perp B C$； （2）求二面角 $E-B F-C$ 的正弦值． 

20．（本小题满分 12 分） 圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如 图），双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ ． （1）求 $C_{1}$ 的方程； （2）植圆 $C_{2}$ 过点 $P$ 且与 $C_{1}$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_{2}$ 的右焦点且与 $C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，若以线段 $A B$ 为直径的圆心过点 $P$ ，求 $l$ 的方程． 

21．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=(\cos x-x)(\pi+2 x)-\frac{8}{3}(\sin x+1), g(x)=3(x-x) \cos x-4(1+\sin x) \ln \left(3-\frac{2 x}{\pi}\right)$ ． 证明：（I）存在唯一 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ； （II）存在唯一 $x_{1} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，使 $g\left(x_{1}\right)=0$ ，且对（1）中的 $x_{0}+x_{1}<\pi$ ．

22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图， EP 交圆于 $\mathrm{E} , \mathrm{C}$ 两点， PD 切圆于 $\mathrm{D}, \mathrm{G}$ 为 CE 上一点且 $P G=P D$ ，连接 $D G$ 并延长交圆于点 $A$ ，作弦 $A B$ 垂直 $E P$ ，垂足为 $F$ ． （I）求证：$A B$ 为圆的直径； （II）若 $A C=B D$ ，求证：$A B=E D$ ． 

23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 $C$ ． （ I ）写出 $C$ 的参数方程； （II）设直线 $l: 2 x+y-2=0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程．

24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数 $f(x)=2|x-1|+x-1, g(x)=16 x^{2}-8 x+1$ ，记 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $M, g(x) \leq 4$ 的解集为 $N$ ． （I）求 $M$ ； （II）当 $x \in M \cap N$ 时，证明：$x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2} \leq \frac{1}{4}$ ．