直线的方程　·　历年高考数学真题与解析

13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

10．双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 的一条渐近线上，$O$ 为坐标原点，若 $|P O|=|P F|$ ，则 $\triangle P F O$ 的面积为

19．（12分）设椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 M 的坐标为 $(2,0)$ ．
（1）当 $\mid$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；
②设 $O$ 为坐标原点，证明：$\angle O M A=\angle O M B$ ．

20．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=2 x$ ，点 $A(2,0), B(-2,0)$ ，过点 $A$ 的直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点。
（1）当 $\mid$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $B M$ 的方程；
（2）证明：$\angle A B M=\angle A B N$ ．

11．（5分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A$ ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{x}$ 轴，过点 A 的直线 $l$ 与线段 PF交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（

（20）（本小题满分 13 分）
设椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 B 的坐标为 $(0, b)$ ，点 M 在线段 AB 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 OM 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 E 的离心率 e ；
（II）设点 C 的坐标为 $(0,-b), \mathrm{N}$ 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 E 的方程．

17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点 ，顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，连结 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连结 $F_{1} C$ 。
（1）若点 C 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $B F_{2}=\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C \perp A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值．

（第17题）

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直线坐标系 $x o y$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \varphi \\ y=b \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数，$a>b>0$ ）。在极坐标系（与直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴为正半轴 为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标分别为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} m$（ $m$ 为非零常数）与 $\rho=b$．若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$．

9．在平面直角坐标系 $x o y$ 中，若 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t-a\end{array}\right.$（ t 为参数）过椭圆 $\mathrm{C}:\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \varphi, \\ y=2 \sin \varphi\end{array}\right.$
（ $\varphi$ 为参数）的右顶点，则常数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$．

8．如图，$F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的

左、右两焦点，$B$ 是虚轴的端点，直线 $F_{1} B$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P, Q$ 两点，线段 $P Q$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$ ．若 $\left|M F_{1}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则 $C$ 的离心率是

（第8题图）

13．如图，在平面直角坐标系 $x O y_{\text {中，}} A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$

的四个顶点，$F$ 为其右焦点，直线
$A_{1} B_{2}$ 与直线 $B_{1} F$ 相交于点 T ，线段 $O T$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $O T$ 的中点，则该椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

22．（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 $\mathrm{A}(2,2)$ ，其焦在 $x$ 轴上。
（1）求抛物线 C 的标准方程；
（2）求过点 F ，且与直线 OA 垂直的直线的方程；
③设过点 $M(m, 0)(m>0)$ 的直线交抛物线 C 于 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 两点， $\mathrm{ME}=2 \mathrm{DM}$ ，记D两点间的距离为 $f(m)$ ，求 $f(m)$ 关于 $m$ 的表达式。

9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）

15．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线，与抛物线分别交于 $A , B$ 两点
(
$\_\_\_\_$ .