2022 浙江卷 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{1,2\}, B=\{2,4,6\}$ ，则 $A \cup B=$

2．已知 $a, b \in \mathbf{R}, a+3 \mathrm{i}=(b+\mathrm{i}) \mathrm{i}$（ i 为虚数单位），则（ ）

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0, \\ 2 x+y-7 \leq 0, \\ x-y-2 \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=3 x+4 y$ 的最大值是（ ）

4．设 $x \in \mathbf{R}$ ，则＂ $\sin x=1$＂是＂ $\cos x=0$＂的（ ）

5．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{3}$ ）是（）

6．为了得到函数 $y=2 \sin 3 x$ 的图象，只要把函数 $y=2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{5}\right)$ 图象上所有的点

7．已知 $2^{a}=5, \log _{8} 3=b$ ，则 $4^{a-3 b}=$

8．如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}, A C=A A_{1}, E, F$ 分别是棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $\alpha, E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\beta$ ，二面角 $F-B C-A$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）

9．已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，若对任意 $x \in \mathbf{R}, a|x-b|+|x-4|-|2 x-5| \geq 0$ ，则（ ）
A $a \leq 1, b \geq 3$
B．$a \leq 1, b \leq 3$
C．$a \geq 1, b \geq 3$
D．$a \geq 1, b \leq 3$

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{3} a_{n}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则（ ）

11．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为＂三斜求积＂，它填补了我国传统数学的一个空白。如果把这个方法写成公式，就是 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^{2} a^{2}-\left(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$ ，其中 $a, b, c$ 是三角形的三边，$S$ 是三角形的面积。设某三角形的三边 $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, c=2$ ，则该三角形的面积 $S=$ $\_\_\_\_$ ．

12．已知多项式 $(x+2)(x-1)^{4}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2}=$ $\_\_\_\_$ ，
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$ $\_\_\_\_$。

14．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x^{2}+2, x \leq 1, \\ x+\frac{1}{x}-1, x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ；若当 $x \in[a, b]$ 时， $1 \leq f(x) \leq 3$ ，则 $b-a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

15．现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P(\xi=2)=$ $\_\_\_\_$ ，$E(\xi)=$ $\_\_\_\_$。

16．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 且 $x_{1}<0<x_{2}$ ．若 $|F B|=3|F A|$ ，则双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$。

17．设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{8}$ 的边 $A_{1} A_{2}$ 上，则 $\overrightarrow{P A}_{1}^{2}+\overrightarrow{P A}_{2}^{2}+\cdots+\overrightarrow{P A}_{8}^{2}$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$。

18．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $4 a=\sqrt{5} c, \cos C=\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $\sin A$ 的值；
（2）若 $b=11$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

19．如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形，$A B / / D C, D C / / E F, A B=5, D C=3$ ， $E F=1, \angle B A D=\angle C D E=60^{\circ}$ ，二面角 $F-D C-B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ．设 $M, N$ 分别为 $A E, B C$ 的中点．

（1）证明：$F N \perp A D$ ；
（2）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

20．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=-1$ ，公差 $d>1$ ．记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．
（1）若 $S_{4}-2 a_{2} a_{3}+6=0$ ，求 $S_{n}$ ；
（2）若对于每个 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，存在实数 $c_{n}$ ，使 $a_{n}+c_{n}, a_{n+1}+4 c_{n}, a_{n+2}+15 c_{n}$ 成等比数列，求 $d$ 的取值范围．

21．如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ ．设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点．

（1）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 $|C D|$ 的最小值．

22．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}}{2 x}+\ln x(x>0)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3}, f\left(x_{3}\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a, b)$ ．证明：
（i）若 $a>\mathrm{e}$ ，则 $0<b-f(a)<\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\mathrm{e}}-1\right)$ ；
（ii）若 $0<a<\mathrm{e}, x_{1}<x_{2}<x_{3}$ ，则 $\frac{2}{\mathrm{e}}+\frac{\mathrm{e}-a}{6 \mathrm{e}^{2}}<\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{3}}<\frac{2}{a}-\frac{\mathrm{e}-a}{6 \mathrm{e}^{2}}$ ．
（注： $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）