2011 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设复数 $z$ 满足 $i z=1$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z=$

2．已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x, y\right.$ 为实数，且 $\left.x^{2}+y^{2}=1\right\}, B=\{(x, y) \mid x, y$ 为实数，且 $x+y=1\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为

3．已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,0), \boldsymbol{c}=(3,4)$ ．若 $\lambda$ 为实数，$(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) / / \boldsymbol{c}$ ，则 $\lambda=$

4．函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}+\lg (1+x)$ 的定义域是

5．不等式 $2 x^{2}-x-1>0$ 的解集是

6．已知平面直角坐标系 $x O y$ 上的区域 $D$ 由不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2} \\ y \leqslant 2 \\ x \leqslant \sqrt{2} y\end{array}\right.$ 给定．若 $M(x, y)$ 为 $D$ 上的动点，点 $A$ 的坐标为 $(\sqrt{2}, 1)$ ，则 $z=\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O A}$ 的最大值为

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有

8．设圆 $C$ 与圆 $x^{2}+(y-3)^{2}=1$ 外切，与直线 $y=0$ 相切，则 $C$ 的圆心轨迹为

9．如图1 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该体积为

10．设 $f(x), g(x), h(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的任意实值函数，如下定义两个函数 $(f \circ g)(x)$ 和 $(f \circ g)(x)$ ：对任意 $x \in \mathbf{R},(f \circ g)(x)=f(g(x)) ;(f \circ g)(x)=f(x) g(x)$ ，则下列等式恒成立的是

11．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，若 $a_{2}=2, a_{4}-a_{3}=4$ ，则此数列的公比 $q=$ $\_\_\_\_$

12．设函数 $f(x)=x^{3} \cos x+1$ ．若 $f(a)=11$ ，则 $f(-a)=$ $\_\_\_\_$ ．

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号 每天打篮球时间 $x$（单位：小时）与当天投篮命中率 $y$ 之间的关系： | 时间 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 命中率 $y$ | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 | 小李这 5 天的平均投篮命中率为 $\_\_\_\_$ ；用线性回归分析的方法，预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 $\_\_\_\_$ ．

14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5} \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}(0 \leqslant \theta<\pi)\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4} t^{2} \\ y=t\end{array} \quad(t \in \mathbf{R})\right.$, 它们的交点坐标为 $\_\_\_\_$ ．

15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形 $A B C D$ 中，$A B / / C D$ ， $A B=4, C D=2, E, F$ 分别为 $A D, B C$ 上的点，且 $E F=3$ ， $E F / / A B$ ，则梯形 $A B F E$ 与梯形 $E F C D$ 的面积比为  图4

16．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=2 \sin \left(\frac{1}{3} x-\frac{\pi}{6}\right), x \in \mathbf{R}$ ． （1）求 $f(0)$ 的值； （2）设 $\alpha, \beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], f\left(3 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{10}{13}, f(3 \beta+2 \pi)=\frac{6}{5}$ ，求 $\sin (\alpha+\beta)$ 的值．

18．（本小题满分 13 分） 图5所示的几何体是将高为 2 ，底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．$A, A^{\prime}, B, B^{\prime}$ 分别为 $\overparen{C D}, \overparen{C^{\prime} D^{\prime}}, \overparen{D E}, \overparen{D^{\prime} E^{\prime}}$ 的中点，$O_{1}, O_{1}^{\prime}, O_{2}, O_{2}^{\prime}$ 分别为 $C D, C^{\prime} D^{\prime}$ ， $D E, D^{\prime} E^{\prime}$ 的中点． （1）证明：$O_{1}^{\prime}, A^{\prime}, O_{2}, B$ 四点共面； （2）设 $G$ 为 $A A^{\prime}$ 中点，延长 $A^{\prime} O_{1}^{\prime}$ 到 $H^{\prime}$ ，使得 $O_{1}^{\prime} H^{\prime}=A^{\prime} O_{1}^{\prime}$ ．证明：$B O_{2}^{\prime} \perp$ 平面 $H^{\prime} B^{\prime} G$  图5

19．（本小题满分 14 分） 设 $a>0$ ，讨论函数 $f(x)=\ln x+a(1-a) x^{2}-2(1-a) x$ 的单调性．

20．（本小题满分 14 分） 设 $b>0$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=b, a_{n}=\frac{n b a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}(n \geqslant 2)$ ． （1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 $n, 2 a_{n} \leqslant b^{n+1}+1$ ．

21．（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 $x O y$ 上，直线 $l: x=-2$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 。设 $P$ 是 $l$ 上一点，$M$ 是线段 $O P$的垂直平分线上一点，且满足 $\angle M P O=\angle A O P$ ． （1）当点 $P$ 在 $l$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程； （2）已知 $T(1,-1)$ ，设 $H$ 是 $E$ 上动点，求 $|H O|+|H T|$ 的最小值，并给出此时点 $H$ 的坐标； （3）过点 $T(1,-1)$ 且不平行于 $y$ 轴的直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 有且只有两个不同的交点，求直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围．