2013 地方卷 数学

以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.

<table><tr><td>甲组</td><td></td><td>乙组</td></tr><tr><td>9</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>x 2</td><td>1</td><td>5 y 8</td></tr><tr><td>7 4</td><td>2</td><td>4</td></tr></table>

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为

从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答).

如题（14）图，在 $\triangle A B C$ 中， $\angle C = 9 0 ^ { \circ }$ $\angle A = 6 0 ^ { \circ }$ $A B = 2 0$ ，过C作 $\triangle A B C$ 的外接

圆的切线CD， $B D \perp C D$ ，BD与外接圆交于点E，则DE的长 为

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

设 $f ( x ) = a ( x - 5 ) ^ { 2 } + 6 \ln x$ ，其中 $a \in R$ ，曲线 $y = f ( x )$ 在点（1，f(1)）处的切线与y轴相较于点（0,6）.（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值.

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>奖级</td><td rowspan=1 colspan=1>摸出红、蓝球个数</td><td rowspan=1 colspan=1>获奖金额</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>一等奖</td><td rowspan=1 colspan=1>3红1蓝</td><td rowspan=1 colspan=1>200元</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>二等奖</td><td rowspan=1 colspan=1>3红0蓝</td><td rowspan=1 colspan=1>50元</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>三等奖</td><td rowspan=1 colspan=1>2红1蓝</td><td rowspan=1 colspan=1>10元</td></tr></table>

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；

（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在 $\triangle A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + { \sqrt { 2 } } a b = c ^ { 2 }$

（I）求C；（II）设 $\cos A \cos B = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 5 } , \frac { \cos ( \alpha + A ) \cos ( \alpha + B ) } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ ，求 tan α的值.

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率 $e = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ ，过左焦点 $F _ { 1 }$ 作x轴的垂线交椭圆于A、A'两点， $\left| A A ^ { \prime } \right| = 4$ .（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P'，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若 $P Q \perp P ^ { \prime } Q$ ，求圆Q的标准方程.

题(21) 图