2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．若复数 $z$ 满足 $z(1+i)=2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$

2．设全集为 $R$ ，集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-9<0\right\}, B=\{x \mid-1

3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于

4．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}a \cdot 2^{x}, x \geq 0 \\ 2^{-x}, x<0\end{array}(a \in R)\right.$ ，若 $f[f(-1)]=1$ ，则 $a=$

5．在 $\triangle A B C$ 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 $a, b, c$，若 $3 a=2 b$，则 $\frac{2 \sin ^{2} B-\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A}$ 的值为

6．下列叙述中正确的是
$A$ ．若 $a, b, c \in R$ ，则＂$a x^{2}+b x+c \geq 0$＂的充分条件是＂$b^{2}-4 a c \leq 0$＂
$B$ ．若 $a, b, c \in R$ ，则＂$a b^{2}>c b^{2}$＂的充要条件是＂$a>c$＂
$C$ ．命题＂对任意 $x \in R$ ，有 $x^{2} \geq 0$＂的否定是＂存在 $x \in R$ ，有 $x^{2} \geq 0$＂

D．$l$ 是一条直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，若 $l \perp \alpha, l \perp \beta$ ，则 $\alpha / / \beta$

7．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（）

A．成绩

8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）

9．过双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$ 。若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 $A , O$ 两点（ $O$ 为坐标原点），，则双曲线 $C$ 的方程为（ ）
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
В．$\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1$
C．$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1$
D．$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$

10．在同意直角坐标系中，函数 $y=a x^{2}-x+\frac{a}{2}$ 与 $y=a^{2} x^{3}-2 a x^{2}+x+a(a \in R)$ 的图像不可能的是（ ）

11．若曲线 $y=x \ln x$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x-y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知单位向量 $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，若向量 $\vec{a}=3 \vec{e}_{1}-2 \vec{e}_{2}$ ，则 $|\vec{a}|=$ $\_\_\_\_$ ．

13．在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=7$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当且仅当 $n=8$ 时 $S_{n}$ 取最大值，则 $d$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

14．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，作 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$F_{1} B$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，若 $A D \perp F_{1} B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于

15．$x, y \in R$ ，若 $|x|+|y|+|x-1|+|y-1| \leq 2$ ，则 $x+y$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

16．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(a+2 \cos ^{2} x\right) \cos (2 x+\theta)$ 为奇函数，且 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$，其中 $a \in R, \theta \in(0, \pi)$．
（1）求 $a, \theta$ 的值；
（2）若 $f\left(\frac{\alpha}{4}\right)=-\frac{2}{5}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，求 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值．

17．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}, n \in N^{*}$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：对任意 $n>1$，都有 $m \in N^{*}$，使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列．

18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\left(4 x^{2}+4 a x+a^{2}\right) \sqrt{x}$ ，其中 $a<0$ ．
（1）当 $a=-4$ 时，求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $[1,4]$ 上的最小值为 8 ，求 $a$ 的值．

19．（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1} \perp B C, A_{1} B \perp B B_{1}$ ．
（1）求证：$A_{1} C_{1} \perp C C_{1}$ ；
（2）若 $A B=2, A C=\sqrt{3}, B C=\sqrt{7}$ ，问 $A A_{1}$ 为何值时，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积最大，并求此最大值。

20．（本小题满分 13 分）
如图，已知抛物线 $C: x^{2}=4 y$ ，过点 $M(0,2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $A O$ 相交于点 $D$（ $O$ 为坐标原点）．
（1）证明：动点 $D$ 在定直线上；
（2）作 $C$ 的任意一条切线 $l$（不含 $x$ 轴）与直线 $y=2$ 相交于点 $N_{1}$ ，与（1）中的定直线相交于点 $N_{2}$ ，证明：$\left|M N_{2}\right|^{2}-\left|M N_{1}\right|^{2}$ 为定值，并求此定值．

21．（本小题满分 14 分）
将连续正整数 $1,2, \cdots, n\left(n \in N^{*}\right)$ 从小到大排列构成一个数 $123 \cdots n, F(n)$ 为这个数的位数（如 $n=12$ 时，此数为 123456789101112 ，共有 15 个数字，$f(12)=15$ ），现从这个数中随机取一个数字，$p(n)$ 为恰好取到 0 的概率．
（1）求 $p(100)$ ；
（2）当 $n \leq 2014$ 时，求 $F(n)$ 的表达式；
（3）令 $g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$h(n)=f(n)-g(n)$ ， $S=\left\{n \mid h(n)=1, n \leq 100, n \in N^{*}\right\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $p(n)$ 的最大值．