2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $M=\{x \mid x \geq 0, x \in R\}, N=\left\{x \mid x^{2}<1, x \in R\right\}$ ，则 $M \cap N=$

2．函数 $f(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期是
A．$\frac{\pi}{2}$
В．$\pi$
C． $2 \pi$
D． $4 \pi$

3．已知复数 $z=2-i$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ 的值为

4．根据右边框图，对大于 2 的整数 $N$ ，得出数列的通项公式是
$A \cdot a_{n}=2 n$
$B . a_{n}=2(n-1)$
$C . a_{n}=2^{n}$
D．$a_{n}=2^{n-1}$

5．将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为

6．从正方形四 个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为（）

7．下了函数中，满足＂$f(x+y)=f(x) f(y)$＂的单调递增函数是（ ）

8．原命题为＂若 $\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}

9．某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ ，其均值和方差分别为 $\bar{x}$ 和 $\mathrm{s}^{2}$ ，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）

10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为

11．抛物线 $y^{2}=4 x$ 的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

12．已知 $4^{a}=2, \lg x=a$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

13．设 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ ，向量 $\vec{a}=(\sin 2 \theta, \cos \theta), \vec{b}=(1,-\cos \theta)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则 $\tan \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

14．已知 $f(x)=\frac{x}{1+x}, x \geq 0$ ，若 $f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), n \in N_{+}$，则 $f_{2014}(x)$ 的表达式为 $\_\_\_\_$ ．

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
$A$ ．（不等式选做题）设 $a, b, m, n \in R$ ，且 $a^{2}+b^{2}=5, m a+n b=5$ ，则 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$ 的最小值为

16．（本小题满分 12 分）
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．
－（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin A+\sin C=2 \sin (A+C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $c=2 a$ ，求 $\cos B$ 的值．

17．（本小题满分 12 分）
四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱

$A B, B D, D C, C A$ 于点 $E, F, G, H$．
（1）求四面体 $A B C D$ 的体积；
（2）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形．

18．（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A(1,1), B(2,3), C(3,2)$，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上，且 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in R)$．
（1）若 $m=n=\frac{2}{3}$，求 $|\overrightarrow{O P}|$；

（2）用 $x, y$ 表示 $m-n$，并求 $m-n$ 的最大值．

19．（本小题满分 12 分）
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

（1）若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占 $10 \%$ ，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 $20 \%$ ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率．

20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l: y=-\frac{1}{2} x+m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程．

21．（本小题满分 13 分）

设函数 $f(x)=\ln x+\frac{m}{x}, m \in R$．
①当 $m=e$（ $e$ 为自然对数的底数）时，求 $f(x)$ 的极小值；
（2）讨论函数 $g(x)=f^{\prime}(x)-\frac{x}{3}$ 零点的个数；
（3）若对任意 $b>a>0, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．