2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1． $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数．若 $z+\bar{z}=2,(z-\bar{z}) i=2$（ $i$ 为虚数单位），则 $z=$

2．函数 $f(x)=\ln \left(x^{2}-x\right)$ 的定义域为（ ）

3．已知函数 $f(x)=5^{|x|}, g(x)=a x^{2}-x(a \in R)$ ，若 $f[g(1)]=1$ ，则 $a=()$

4．在 $\triangle A B C$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对应的边分别为 $a, b, c$，若 $c^{2}=(a-b)^{2}+6, C=\frac{\pi}{3}$，则 $\triangle A B C$ 的面积

5．一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是   A  B  C  D

6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是 | 表 1 | 不及格 | 及格 | 总计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 男 | 6 | 14 | 20 | | 女 | 10 | 22 | 32 | | 总计 | 16 | 36 | 52 |

7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 

8．若 $f(x)=x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) d x$ ，则 $\int_{0}^{1} f(x) d x=(\quad)$

9．在平面直角坐标系中，$A, B$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的动点，若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为

10．如右图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=11, A D=7, A A_{1}=12$，一质点从顶点 A 射向点 $E(4,3,12)$，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将 $i-1$ 次到第 $i$ 次反射点之间的线段记为 $L_{i}(i=2,3,4), L_{1}=A E$，将线段 $L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}$ 坚直放置在同一水平线上，则大致的图形是  A $\begin{array}{llll}L_{1} & L_{2} & L_{3} & L_{4}\end{array}$  B  C  D

11．（1）．（不等式选做题）对任意 $x, y \in R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|$ 的最小值为（）

11．（2）．（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，$x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 $y=1-x(0 \leq x \leq 1)$ 的极坐标为（ ）

12.10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 $\_\_\_\_$ ．

13．若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

14．已知单位向量 $\overrightarrow{e_{1}}$ 与 $\overrightarrow{e_{2}}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，向量 $\vec{a}=3 \overrightarrow{e_{1}}-2 \overrightarrow{e_{2}}$ 与 $\vec{b}=3 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}$ 的夹角为 $\beta$ ，则 $\cos \beta=$ $\_\_\_\_$

15．过点 $M(1,1)$ 作斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 相交于 $A, B$ ，若．$M$ 是线段 $A B$ 的中点，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$

16．已知函数 $f(x)=\sin (x+\theta)+a \cos (x+2 \theta)$，其中 $a \in R, \theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ （1）当 $a=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值与最小值； （2）若 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, f(\pi)=1$，求 $a, \theta$ 的值．

17．（本小题满分 12 分） 已知首项都是 1 的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}\left\{b_{n}\right\}\left(b_{n} \neq 0, n \in N^{+}\right)$，满足 $a_{n} b_{n+1}-a_{n+1} b_{n}+2 b_{n+1} b_{n}=0$． （1）令 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}}$，求数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （2）若 $b_{n}=3^{n-1}$，求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$

18．（本小题满分 12 分） 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{b}\right) \sqrt{1-2 \mathrm{x}}(\mathrm{b} \in \mathrm{R})$ ． （1）当 $b=4$ 时，求 $f(x)$ 的极值； （2）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．

20．（本小题满分 13 分） 如图，已知双曲线 $C_{n} \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的右焦点 $F$ ，点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，$A F \perp x$ 轴， $A B \perp O B, B F \| O A$（ $O$ 为坐标原点）． （1）求双曲线 $C$ 的方程； （2）过 $C$ 上一点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$ 的直线 $l: \frac{x_{0} x}{a^{2}}-y_{0} y=1$ 与直线 $A F$ 相交于点 $M$ ，与直线 $x=\frac{3}{2}$ 相交于点 $N$ ，证明点 $P$ 在 $C$ 上移动时，$\left|\frac{M F}{N F}\right|$ 恒为定值，并求此定值． 

21．（满分 14 分）随机将 $1,2, \cdots, 2 n\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right)$ 这 2 n 个连续正整数分成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组，每组 n 个数， A 组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B 组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $\xi=a_{2}-a_{1}, \eta=b_{2}-b_{1}$ （1）当 $n=3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； （2）令 C 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 C 发生的概率 $p(c)$ ； （3）对（2）中的事件 $\mathrm{C}, ~ \bar{c}$ 表示 C 的对立事件，判断 $p(c)$ 和 $p(\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由。