2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．若集合 $P=\{x \mid 2 \leq x<4\}, Q=\{x \mid x \geq 3\}$ ，则 $P \cap Q$ 等于（ ）

2．复数 $(3+2 i) i$ 等于（ ）

3．以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 A． $2 \pi$ В．$\pi$ C． 2 D． 1

4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 n 的值为

5．命题＂$\forall x \in[0,+\infty) \cdot x^{3}+x \geq 0$＂的否定是（ ） A．$\forall x \in(-\infty, 0) . x^{3}+x<0$ B．$\forall x \in(-\infty, 0) . x^{3}+x \geq 0$ $C . \exists x_{0} \in[0,+\infty) . x_{0}^{3}+x_{0}<0$ D．$\exists x_{0} \in[0,+\infty) \cdot x_{0}^{3}+x_{0} \geq 0$

6．已知直线 $l$ 过圆 $x^{2}+(y-3)^{2}=4$ 的圆心，且与直线 $x+y+1=0$ 垂直，则 $l$ 的方程是 ：（）

7．将函数 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位，得到函数 $y=f(x)$ 的函数图象，则下列说法正确的是 A．$y=f(x)$ 是奇函数 B．$y=f(x)$ 的周期是 $\pi$ $C .3 y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称 $D . y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 对称

8．若函数 $y=\log _{a} x(a>0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象如右图所示，则下列函数正确的是     

9．要制作一个容积为 $4 m^{3}$ ，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是

10．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$ 等于 $A . \overrightarrow{O M}$ $B .2 \overrightarrow{O M}$ $C .3 \overrightarrow{O M}$ $D .4 \overrightarrow{O M}$

11．已知圆 $C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1$ ，设平面区域 $\Omega=\left\{\begin{array}{l}x+y-7 \leq 0, \\ x-y+3 \geq 0, \\ y \geq 0\end{array}\right.$ ，若圆心 $C \in \Omega$ ，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，则 $a^{2}+b^{2}$ 的最大值为

12．在平面直角坐标系中，两点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 间的＂L－距离＂定义为 $\| P_{1} P_{2}\left|=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|\right.$ ．则平面内与 $x$ 轴上两个不同的定点 $F_{1}, F_{2}$ 的＂L－距离＂之和等于定值。（大于 $\| F_{1} F_{2} \mid$ ）的点的轨迹可以是  A  D  C  D

13．如图，在边长为 1 的正方形中，随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 $\_\_\_\_$ ． 

14．在 $\triangle A B C$ 中，$A=60^{\circ}, A C=2, B C=\sqrt{3}$ ，则 $A B$ 等于 $\_\_\_\_$ ．

15．（函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x^{2}-2, & x \leq 0 \\ 2 x-6+\ln x, & x>0\end{array}\right.$ 的零点个数是 $\_\_\_\_$ ．

16．（已知集合 $\{a, b, c\}=\{0,1,2\}$ ，且下列三个关系：①$a \neq 2$②$b=2$③$c \neq 0$ 有且只有一个正确，则 $100 a+10 b+c=$

17．（（本小题满分 12 分） 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=3, a_{5}=81$ ． （1）求 $a_{n}$ ； ②设 $b_{n}=\log _{3} a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

18．（（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=2 \cos x(\sin x+\cos x)$ ． （1）求 $f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ 的值； （2）求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间．

19．（（本小题满分 12 分） 如图，三棱锥 $A-B C D$ 中，$A B \perp$ 平面 $B C D, C D \perp B D$． （1）求证：$C D \perp$ 平面 $A B D$； （2）若 $A B=B D=C D=1, M$ 为 $A D$ 中点，求三棱锥 $A-M B C$ 的体积． 

20．（（本小题满分 12 分） 根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为 1035－4085 元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为4085－12616美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家。某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表： | 行政区 | 区人口古豕市人口比例 | 区人约 GDP（单位：美元） | | :---: | :---: | :---: | | A | $25 \%$ | 8000 | | B | $30 \%$ | 4000 | | C | $15 \%$ | 6000 | | D | $10 \%$ | 3000 | | E | $20 \%$ | 10000 | （1）判断该城市。人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准； （2）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．

21．（（本小题满分 12 分） 已知曲线 $\Gamma$ 上的点到点 $F(0,1)$ 的距离比它到直线 $y=-3$ 的距离小 2． （1）求曲线 $\Gamma$ 的方程； （2）曲线 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$．直线 $y=3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M, N$，以 $M N$ 为 直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$，试探究：当点 $P$ 在曲线 $\Gamma$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $A B$ 的长度是否发生变化？证明你的结论．

22．（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$（ $a$ 为常数）的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $-1$. （1）求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值； （2）证明：当 $x>0$ 时，$x^{2}<e^{x}$ （3）证明：对任意给定的正数 $e$ ，总存在 $x_{0}$ ，使得当 $x \in\left(x_{0},+\infty\right)$ 时，恒有 $x<c e^{x}$