2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{x \mid(x+1)(x-2) \leq 0\}$ ，集合 $B$ 为整数集，则 $A \cap B=$

2．在＂世界读书日＂前夕，为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中， 5000 名居民的阅读时间的全体是

3．为了得到函数 $y=\sin (x+1)$ 的图象，只需把函数 $y=\sin x$ 的图象上所有的点

4．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$为底面面积，$h$ 为高）

5．若 $a>b>0, c<d<0$ ，则一定有

6．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $x, y \in R$ ，则输出的 $S$ 的最大值为

7．已知 $b>0, \log _{5} b=a, \lg b=c, 5^{d}=10$ ，则下列等式一定成立的是（）

8．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的俯角分别为 $75^{\circ}, 30^{\circ}$ ，此时气球的高是 60 m ，则河流的宽度 BC 等于

9．设 $m \in R$，过定点 $A$ 的动直线 $x+m y=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x-y-m+3=0$ 交于点 $P(x, y)$，则 $|P A|+|P B|$ 的取值范围是

10．已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，点 $A, B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle A B O$ 与 $\triangle A F O$ 面积之和的最小值是（ ）

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的离心率等于

12．复数 $\frac{2-2 i}{1+i}=$

13．设 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 $x \in[-1,1)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-4 x^{2}+2, & -1 \leq x<0, \\ x, & 0 \leq x<1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

14．平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b} \quad(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

15．以 $A$ 表示值域为 R 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$。例如，当 $\varphi_{1}(x)=x^{3}, \varphi_{2}(x)=\sin x$ 时， $\varphi_{1}(x) \in A, \quad \varphi_{2}(x) \in B$．现有如下命题： ①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则＂$f(x) \in A$＂的充要条件是＂$\forall b \in R, \exists a \in D, f(a)=b$＂； ②若函数 $f(x) \in B$，则 $f(x)$ 有最大值和最小值； ③若函数 $f(x), g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A, g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) \notin B$； ④若函数 $f(x)=a \ln (x+2)+\frac{x}{x^{2}+1}(x>-2, a \in R)$ 有最大值，则 $f(x) \in B$．其中的真命题有 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

16．（本小题满分 12 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 $1,2,3$，这三张卡片除标记的数字 外完全相同。随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a, ~ b, ~ c$． （I）求＂抽取的卡片上的数字满足 $a+b=c$＂的概率； （II）求＂抽取的卡片上的数字 $a, b, c$ 不完全相同＂的概率．

17．（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ． （1）求 $f(x)$ 的单调递增区间； （2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．

18．（本小题满分 12 分） 在如图所示的多面体中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 和 $A C C_{1} A_{1}$ 都为矩形。 （I）若 $A C \perp B C$ ，证明：直线 $B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ； （II）设 $D, E$ 分别是线段 $B C, C C_{1}$ 的中点，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $M$ ，使直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ？请证明你的结论。 

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$． （1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列； （2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{a_{n} b_{n}^{2}\right\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-2,0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ． （1）求椭圆 C 的标准方程； ②设 O 为坐标原点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ．当四边形 OPTQ是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积．

21．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}-b x-1$，其中 $a, b \in R, e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数。 （I）设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值； （II）若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$e-2<a<1$．