2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．满足 $\frac{z+i}{z}=i$（ $i$ 是虚数单位）的复数 $z=(\quad)$

2．对一个容量为 $N$ 的总体抽取容量为 $n$ 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$，则

3．已知 $f(x), g(x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f(x)-g(x)=x^{3}+x^{2}+1$ ，则 $f(1)+g(1)=($

4．$\left(\frac{1}{2} x-2 y\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数是（ ）

5．已知命题 $p$：若 $x>y$，则 $-x<-y$；命题 $q$：若 $x<y$，则 $x^{2}>y^{2}$．在命题 ①$p \wedge q$；②$p \vee q$；③$p \wedge(\neg q)$；④$(\neg p) \vee q$ 中，真命题是 A（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）

6．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $t \in[-2,2]$ ，则输出的 $S$ 属于（ ）

7．一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

8．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 $p$ ，第二年的增长率为 $q$ ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）

9．已知函数 $f(x)=\sin (x-\varphi)$，且 $\int_{0}^{\frac{2 \pi}{3}} f(x) d x=0$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴是

10．已知函数 $f(x)=x^{2}+e^{x}-\frac{1}{2}(x<0)$ 与 $g(x)=x^{2}+\ln (x+a)$ 图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha\end{array}\right.$ ，（ $\alpha$ 为参数）交于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=2$ ，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 $l$ 的极坐标方程是 $\_\_\_\_$ ．

12．如图 3，已知 $A B, B C$ 是 $\odot O$ 的两条弦，$A O \perp B C, A B=\sqrt{3}, B C=2 \sqrt{2}$ ，则 $\odot O$ 的半径等于 $\_\_\_\_$ ．  图3

13．若关于 $x$ 的不等式 $|a x-2|<3$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{5}{3}<x<\frac{1}{3}\right.\right\}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

14．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leq x \\ x+y \leq 4 \\ y \geq k\end{array}\right.$，且 $z=2 x+y$ 的最小值为 -6，则 $k=$ $\_\_\_\_$．

15．如图 4，正方形 $A B C D$ 和正方形 $D E F G$ 的边长分别为 $a, b(a<b)$ ，原点 $O$ 为 $A D$ 的中点，抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 经过 $C, F$ 两点，则 $\frac{b}{a}=$ $\_\_\_\_$。  처 4

16．在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0), B(0, \sqrt{3}), C(3,0)$ ，动点 $D$ 满足 $|\overrightarrow{C D}|=1$ ，则 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}|$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

17．某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品 $A$ ，乙组研发新产品 $B$ ．设甲，乙两组的研发是相互独立的． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率； （2）若新产品 $A$ 研发成功，预计企业可获得 120 万元，若新产品 $B$ 研发成功，预计企业可获得利润 100 万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望。

18．如图 5，在平面四边形 $A B C D$ 中，$A D=1, C D=2, A C=\sqrt{7}$ ． （1）求 $\cos \angle C A D$ 的值； ②．若 $\cos \angle B A D=-\frac{\sqrt{7}}{14}, \sin \angle C B A=\frac{\sqrt{21}}{6}$ ，求 $B C$ 的长． 

19．如图 6，四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都相等，$A C \cap B D=O, A_{1} C_{1} \cap B_{1} D_{1}=O_{1}$，四边形 $A C C_{1} A_{1}$和四边形 $B D D_{1} B_{1}$ 为矩形． （1）证明：$O_{1} O \perp$ 底面 $A B C D$； （2）若 $\angle C B A=60^{\circ}$，求二面角 $C_{1}-O B_{1}-D$ 的余弦值．  图6

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=p^{n}, n \in N^{*}$ ． （1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，且 $a_{1}, 2 a_{2}, 3 a_{3}$ 成等差数列，求 $P$ 的值； （2）若 $p=\frac{1}{2}$ ，且 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是递增数列，$\left\{a_{2 n}\right\}$ 是递减数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

21．如图 7，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ；双曲线 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{3}, F_{4}$ ，离心率为 $e_{2}$ ，已知 $e_{1} e_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $\left|F_{2} F_{4}\right|=\sqrt{3}-1$ ． （1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程； （2）过 $F_{1}$ 点作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $A B, M$ 为 $A B$ 的中点，当直线 $O M$ 与 $C_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点时，求四边形 $A P B Q$ 面积的最小值．  ｜ 17

22．已知常数 $a>0$ ，函数 $f(x)=\ln (1+a x)-\frac{2 x}{x+2}$ ． （1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性； （2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>0$ ，求 $a$ 的取值范围．．