2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=R, A=\{x \mid x \leq 0\}, B=\{x \mid x \geq 1\}$ ，则集合 $C_{U}(A \cup B)=$

2．设复数 z 满足 $(z-2 i)(2-i)=5$ ，则 $z=$

3．已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}, b=\log _{2} \frac{1}{3}, c=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则

4．已知 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示两条不同直线，$\alpha$ 表示平面，下列说法正确的是

5．设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是非零向量，已知命题 $\mathrm{P}:$ 若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0, \vec{b} \cdot \vec{c}=0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}=0$ ；命题 $\mathrm{q}: ~$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则下列命题中真命题是

6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1$ ，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是

7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

8．已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $\mathrm{C}: y^{2}=2 p x$ 的准线上，记 C 的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为

9．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 d ，若数列 $\left\{2^{a_{1} a_{n}}\right\}$ 为递减数列，则

10．已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\cos \pi x, x \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \\ 2 x-1, x \in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\end{array}\right.$，则不等式 $f(x-1) \leq \frac{1}{2}$ 的解集为

11．将函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数

12．当 $x \in[-2,1]$ 时，不等式 $a x^{3}-x^{2}+4 x+3 \geq 0$ 恒成立，则实数 a 的取值范围是

13．执行右侧的程序框图，若输入 $n=3$ ，则输出 $T=$ 

15．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 MN 的中点在 C 上，则 $|A N|+|B N|=$

16．对于 $c>0$ ，当非零实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $4 a^{2}-2 a b+b^{2}-c=0$ ，且使 $|2 a+b|$ 最大时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，且 $a>c$ ，已知 $\overrightarrow{B A} \bullet \overrightarrow{B C}=2, \cos B=\frac{1}{3}, b=3$ ，求： （I） a 和 c 的值； （II） $\cos (B-C)$ 的值．

18．（本小题满分 12 分） 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： | | 喜欢程品 | 不新欢甜品 | 合计 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 南方学生 | 60 | 20 | 80 | | 北方学生 | 10 | 10 | 20 | | 合计 | 70 | 30 | 100 | （I）根据表中数据，问是否有 $95 \%$ 的把握认为＂南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异＂； （II）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率． 附：$\chi^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)^{2}}{n_{1+} n_{2+} n_{+1} n_{+2}}$ ， | $P\left(\chi^{2}>k\right)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 | | :---: | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |

19．（本小题满分 12 分） 如图，$\triangle A B C$ 和 $\triangle B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B=B C=B D=2, \angle A B C=\angle D B C=120^{\circ}$ ， $\mathrm{E} , \mathrm{~F} , \mathrm{G}$分别为 $\mathrm{AC} , \mathrm{DC} , \mathrm{AD}$ 的中点． （I）求证：$E F \perp$ 平面 BCG ； （II）求三棱锥 D－BCG 的体积． 附：椎体的体积公式 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 S 为底面面积， h 为高． 

20．（本小题满分 12 分） 圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）． （ I ）求点 P 的坐标； （II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。 

21．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=\pi(x-\cos x)-2 \sin x-2, g(x)=(x-\pi) \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}+\frac{2 x}{\pi}-1$ ． 证明：（I ）存在唯一 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ； （II）存在唯一 $x_{1} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，使 $g\left(x_{1}\right)=0$ ，且对（1）中的 $x_{0}+x_{1}>\pi$ ．

22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图， EP 交圆于 $\mathrm{E} , \mathrm{C}$ 两点， PD 切圆于 $\mathrm{D}, \mathrm{G}$ 为 CE 上一点且 $P G=P D$ ，连接 DG 并延长交圆于点 A ，作。弦 AB 垂直 EP ，垂足为 F 。 （I）求证： AB 为圆的直径； （II）若 $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ ，求证： $\mathrm{AB}=\mathrm{ED}$ ． 

23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C ． （ I ）写出 C 的参数方程； （II）设直线 $l: 2 x+y-2=0$ 与 C 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程．

24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数 $f(x)=2|x-1|+x-1, g(x)=16 x^{2}-8 x+1$ ，记 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $\mathrm{M}, g(x) \leq 4$ 的解集为 N ． （I）求 M ； （II）当 $x \in M \cap N$ 时，证明：$x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2} \leq \frac{1}{4}$ ．