2025 北京卷 数学

已知集合 $M=\{x \mid 2 x-1>5\}, N=\{1,2,3\}$ ，则 $M \cap N=$

已知复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot \mathrm{z}+2=2 \mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

双曲线 $x^{2}-4 y^{2}=4$ 的离心率为

为了得到函数 $y=9^{x}$ 的图象，只需把函数 $y=3^{x}$ 的图象上所有点的

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$a_{1}=-2$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{10}=$

已知 $a>0, b>0$ ，则

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，则＂$f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$＂是＂对任意 $M \in \mathbf{R}$ ，存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right|>M$＂的

设函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0)$ ，若 $f(x+\pi)=f(x)$ 恒成立，且 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点，则$\omega$ 的最小值为

一定条件下，某人工智能大语言模型训练 $N$ 个单位的数据量所需要的时间 $T=k \log _{2} N$（单位：h），其中 $k$ 为常数。在此条件下，已知训练数据量 $N$ 从 $10^{6}$ 个单位增加到 $1.024 \times 10^{9}$ 个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量 $N$ 从 $1.024 \times 10^{9}$ 个单位增加到 $4.096 \times 10^{9}$ 个单位时，训练时间增加

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{A B}|=2$ 。设 $C(3,4)$ ，则 $|2 \overrightarrow{C A}+\stackrel{\text { en }}{\text { AB }}|$ 的取值范围是

已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的顶点到焦点的距离为 3 ，则 $p=$ $\_\_\_\_$．

已知 $(1-2 x)^{4}=a_{0}-2 a_{1} x+4 a_{2} x^{2}-8 a_{3} x^{3}+16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0}=$ $\_\_\_\_$; a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\_\_\_\_$．

已知 $\alpha, \beta \in[0,2 \pi]$ ，且 $\sin (\alpha+\beta)=\sin (\alpha-\beta), \cos (\alpha+\beta) \neq \cos (\alpha-\beta)$ 。写出满足条件的一组 $\alpha, \beta$的值 $\alpha=$ $\_\_\_\_$，$\beta=$ $\_\_\_\_$．

某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $A B C D E F$ 是一个平面多边形，平面 $A F R \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $C D T \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, A B / / E F / / R S / / C D$ ，

$B C / / D E / / S T / / A F$ 。若 $A B=B C=8, A F=C D=4, R A=R F=T C=T D=\frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为
$\_\_\_\_$．

关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ ，给出下列四个结论：
①存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2 x)=-x$ 恒成立；
②存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)-f(2 x)=x$ 恒成立；

③使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$。

在 $\mathrm{V} A B C$ 中， $\cos A=-\frac{1}{3}, a \sin C=4 \sqrt{2}$ ．
（1）求 $c$ 的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $V A B C$ 存在，求 $B C$ 边上的高。

条件①：$a=6$ ；条件②：$a \sin B=\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ ；条件③： $\mathrm{V} A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{2}$ ．

如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\square A D C$ 与 $\square B A C$ 均为等腰直角三角形，$\angle A D C=90^{\circ}, \angle B A C=90^{\circ}, E$ 为 $B C$ 的中点．

（1） 若 $F, G$ 分别为 $P D, P E$ 的中点，求证：$F G / /$ 平面 $P A B$ ；
（2） 若 $P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A C$ ，求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试。为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率。

（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $p$
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设 $X$ 为这 2 名学生中该题选择正确的人数，估计$X=1$ 的概率及 $X$ 的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为 $p_{1}, p_{2}$ ，判断 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 的大小（结论不要求证明）．

已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 4 。

（1） 求椭圆 $E$ 的方程；
② 设 $O$ 为坐标原点，点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 0\right)$ 在椭圆 $E$ 上，直线 $x_{0} x+2 y_{0} y-4=0$ 与直线 $y=2$ ，

$y=-2$ 分别交于点 $A, B$ ．设 $\triangle O A M$ 与 $\square O B M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 与 $\frac{|O A|}{|O B|}$ 的大小．

已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-1,+\infty), f(0)=0$ ，导函数 $f^{\prime}(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x}$ ，设 $l_{1}$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(a, f(a))(a \neq 0)$ 处的切线．
（1）求 $f^{\prime}(x)$ 的最大值；

（2）当 $-1<a<0$ 时，证明：除切点 $A$ 外，曲线 $y=f(x)$ 在直线 $l_{1}$ 的上方；
③设过点 $A$ 的直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 垂直，$l_{1}, l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标分别是 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $a>0$ ，求$\frac{2 a-x_{2}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ 的取值范围．

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, M=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}$ ，从 $M$ 中选取 $n$ 个不同的元素组成一个序列：$\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，其中 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ 称为该序列的第 $i$ 项 $(i=1,2, \ldots, n)$ ，若该序列的相邻项 $\left(x_{i}, y_{i}\right),\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)$ 满足：$\left\{\begin{array}{l}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|=3, \\ \left|y_{i+1}-y_{i}\right|=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\left|x_{i+1}-x_{i}\right|=4, \\ \left|y_{i+1}-y_{i}\right|=3\end{array}(i=1,2, \ldots, n-1)\right.$ ，则称该序列为 K 列。
（1）对于第1项为 $(3,3)$ 的 K 列，写出它的第2项．
（2）设 $\Gamma$ 为 K 列，且 $\Gamma$ 中的项 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, n)$ 满足：当 $i$ 为奇数时，$x_{i} \in\{1,2,7,8\}$ ：当 $i$ 为偶数时，$x_{i} \in\{3,4,5,6\}$ 。判断（3，2），（4，4）能否同时为 $\Gamma$ 中的项，并说明理由；
（3）证明：由 $M$ 的全部元素组成的序列都不是 K 列。