2011 新课标卷（旧） 数学

（5分）下列函数中，既是偶函数又在 $( 0 , \ + \infty )$ 上单调递增的函数是（）A $v = 2 x ^ { 3 }$ B $\mathsf { y } \mathop { = } \left| \mathsf { x } \right| \mathop { + } 1$ C $y = - \ x ^ { 2 } + 4$ D． $\mathsf { y } = 2 ^ { \mathbf { \gamma } - \mathbf { \gamma } | \mathbf { x } | }$

（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　）

（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）A $\frac 1 3$ B $\frac 1 2$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$

（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 $y = 2 x$ 上，则cos2θ=（ ） A $- \frac { 4 } { 5 }$ B $- \frac { 3 } { 5 }$ C $\frac { 3 } { 5 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$

（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　）

(正视图)

(俯视图)

A

B

C

D

（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（　　）A $\sqrt { 2 }$ B $\sqrt { 3 }$ C．2 D．3

（5分） $( { \bf { x } } + \frac { \sf { a } } { \bf { x } } ) ( 2 { \bf { x } } - \frac { 1 } { \bf { x } } )$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）

（5分）函数 $\forall = \frac { 1 } { 1 - \mathbf { x } }$ 的图象与函数 $\scriptstyle \cdot y = 2 \sin \pi \times$ $( - 2 \leq x \leq 4 )$ 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）

（5分）在平面直角坐标系 $\mathsf { x O y }$ ，椭圆C的中心为原点，焦点 $\mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 }$ 在x轴上，离心率为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ．过 $\mathsf { F } _ { \mathsf { I } }$ 的直线交于A，B两点，且 $\triangle \mathsf { A B F } _ { 2 }$ 的周长为16，那么C的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 8 } = 1$

（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则棱锥O﹣ABCD的体积为 $\underline { { 8 } } \sqrt { 3 } .$

（5分）在 $\triangle A B C$ 中， $B = 6 0 ^ { \circ }$ $A C = { \sqrt { 3 } }$ ，则 $A B + 2 B C$ 的最大值为 $\underline { { 2 } } \sqrt { 7 } _ { - }$

（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分

别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>指标值分组</td><td rowspan=1 colspan=1>[90,94)</td><td rowspan=1 colspan=1>[94，98)</td><td rowspan=1 colspan=1>[98，102)</td><td rowspan=1 colspan=1>[102，106)</td><td rowspan=1 colspan=1>[106,110]</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>频数</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td><td rowspan=1 colspan=1>42</td><td rowspan=1 colspan=1>22</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td></tr></table>

B配方的频数分布表

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>指标值分组</td><td rowspan=1 colspan=1>[90,94)</td><td rowspan=1 colspan=1>[94，98)</td><td rowspan=1 colspan=1>[98,102)</td><td rowspan=1 colspan=1>[102，106)</td><td rowspan=1 colspan=1>[106, 110]</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>频数</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td><td rowspan=1 colspan=1>12</td><td rowspan=1 colspan=1>42</td><td rowspan=1 colspan=1>32</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr></table>

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 $\scriptstyle \forall = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 , } & { \ t < 9 4 } \\ { 2 , } & { 9 4 \leqslant \ t < 1 0 2 } \\ { 4 , } & { \ t \geqslant 1 0 2 } \end{array} \right. }$

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

（10分）如图，D，E分别为 $\triangle A B C$ 的边AB，AC上的点，且不与 $\triangle A B C$ 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程 $\times ^ { 2 } - 1 4 x + m$ n=0的两个根

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若 $\angle A = 9 0 ^ { \circ }$ ，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径