2018 上海卷 数学　·　真题与答案解析

1．不等式 $|x|>1$ 的解集为 $\_\_\_\_$

2．计算： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n-1}{n+2}=$ $\_\_\_\_$

3．设集合 $A=\{x \mid 0<x<2\}, B=\{x \mid-1<x<1\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$

4．若复数 $z=1+i$（ i 是虚数单位），则 $z+\frac{2}{z}=$ $\_\_\_\_$

5．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{2}+a_{8}=10$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$ $\_\_\_\_$

6．已知平面上动点 P 到两个定点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 的距离之和等于 4 ，则动点 P 的轨迹方程为 $\_\_\_\_$

7．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=4, A A_{1}=5, \mathrm{O}$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $A-A_{1} O B_{1}$的体积为 $\_\_\_\_$

（第7题）

8．某校组队参加辩论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）

9．设 $a \in R$ ，若 $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{9}$ 与 $\left(x+\frac{a}{x^{2}}\right)^{9}$ 的二项展开式中的常数项相等，则 $a=$ $\_\_\_\_$

10．设 $m \in R$ ，若 z 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+m x+m^{2}-1=0$ 的一个虚根，则 $|\bar{z}|$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

11．设 $a>0$ ，函数 $f(x)=x+2(1-x) \sin (a x), x \in(0,1)$ ，若函数 $y=2 x-1$ 与 $y=f(x)$ 的图像有且仅有两个不同的公共点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

12．如图，正方形 ABCD 的边长为 20 米，圆 O 的半径为 1 米，圆心是正方形的中心，点 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 分别在线段 $\mathrm{AD} , \mathrm{CB}$ 上，若线段 PQ 与圆 O 有公共点，则称点 Q 在点 P 的＂盲区＂中，已知点 P 以 1.5 米／秒的速度从 A 出发向 D 移动，同时，点 Q 以 1 米／秒的速度从 C 出发向 B 移动，则在点 P 从 A 移动到 D 的

12题图

过程中，点 Q 在点 P 的盲区中的时长约为 $\_\_\_\_$秒（精确到 0.1 ）

13．下列函数中，为偶函数的是

13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）

14．如图，在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱所在的直线中，与直线 $B C_{1}$ 异面的直线的条数为

15．设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，＂$\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列＂是＂$\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列＂的

16．已知 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为平面上的两个定点，且 $|\overrightarrow{A B}|=2$ ，该平面上的动线段 PQ 的端点 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ ，满足 $|\overrightarrow{A P}| \leq 5$ ， $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}=6, \overrightarrow{A Q}=-2 \overrightarrow{A P}$ ，则动线段 PQ 所形成图形的面积为

17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $y=\cos x$ ．
（1）若 $f(\alpha)=\frac{1}{3}$ ，且 $\alpha \in[0, \pi]$ ，求 $f\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求函数 $y=f(2 x)-2 f(x)$ 的最小值．

18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）

已知 $a \in R$ ，双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ ．
（1）若点 $(2,1)$ 在 $\Gamma$ 上，求 $\Gamma$ 的焦点坐标；
（2）若 $a=1$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $\Gamma$ 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 1 ，求实数 $k$ 的值．

19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）

利用＂平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线＂的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点 $\mathrm{O} , \mathrm{~A} , \mathrm{~B}$ 在抛物线上， OC 是抛物线的对称轴，$O C \perp A B$于 $\mathrm{C}, \mathrm{AB}=3$ 米， $\mathrm{OC}=4.5$ 米．
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）在图3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 $\mathrm{SD}, \mathrm{AB} , \mathrm{DE}$ 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 $0.01^{\circ}$ ）。

（图 1）

（图2）

（图3）