2018 江苏卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{0,1,2,8\}, B=\{-1,1,6,8\}$ ，那么 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ A ．

2．若复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot z=1+2 \mathrm{i}$ ，其中 i 是虚数单位，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$ A ．

3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 $\_\_\_\_$ ．

（第3题）

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 $S$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

（第4题）

5．函数 $f(x)=\sqrt{\log _{2} x-1}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$ A ．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
$\_\_\_\_$
Δ ．

7．已知函数 $y=\sin (2 x+\varphi)\left(-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，则 $\varphi$ 的值是 $\_\_\_\_$ A ．

8．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点 $F(c, 0)$ 到一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，则其离心率的值是 $\_\_\_\_$ ．

9．函数 $f(x)$ 满足 $f(x+4)=f(x)(x \in \mathbf{R})$ ，且在区间 $(-2,2]$ 上，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos \frac{\pi x}{2}, 0<x \leq 2, \\ \left|x+\frac{1}{2}\right|,-2<x \leq 0,\end{array}\right.$则 $f(f(15))$ 的值为
$\_\_\_\_$
A ．

10．如图所示，正方体的棱长为 2 ，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 $\_\_\_\_$ A ．

（第 10 题）

11．若函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+1(a \in \mathbf{R})$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且只有一个零点，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值与最小值的和为 $\_\_\_\_$ ．

12．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$A$ 为直线 $l: y=2 x$ 上在第一象限内的点，$B(5,0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线／交于另一点 $D$ ．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$ ，则点 $A$ 的横坐标为 $\_\_\_\_$ ．

13．在 ABC△中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c， 120ABCÐ = °， ABCÐ的平分线交
AC于点D，且 $1BD=$，则4a c+的最小值为 ▲ ．

13．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \angle A B C=120^{\circ}, \angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D=1$ ，则 $4 a+c$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

14．已知集合 $A=\left\{x \mid x=2 n-1, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=2^{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ 。将 $A \cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 。记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_{n}>12 a_{n+1}$ 成立的 $n$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

15．（本小题满分 14 分）
在平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=A B, A B_{1} \perp B_{1} C_{1}$ ．

求证：（1）$A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；
（2）平面 $A B B_{1} A_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B C$ ．

（第 15 题）

16．（本小题满分 14 分）
已知 $\alpha, \beta$ 为锐角， $\tan \alpha=\frac{4}{3}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\cos 2 \alpha$ 的值；
（2）求 $\tan (\alpha-\beta)$ 的值．

17．（本小题满分 14 分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $M P N ~(P$ 为此圆弧的中点 ）和线段 $M N$ 构成．已知圆 $O$ 的半径为 40 米，点 $P$ 到 $M N$ 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I 内的地块形状为矩形ABCD，大棚 II 内的地块形状为 $\triangle C D P$ ，要求 $A, B$ 均在线段 $M N$ 上，$C, D$ 均在圆弧上．设 $O C$与 $M N$ 所成的角为 $\theta$ ．
（1）用 $\theta$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $\triangle C D P$ 的面积，并确定 $\sin \theta$

（第17题）

的取值范围；
（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4: 3$ ．求当 $\theta$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，焦点 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；
②设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ ．
（1）若直线 $/$ 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，

（第 18 题）

求直线 $/$ 的方程．

19．（本小题满分 16 分）
记 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别为函数 $f(x), g(x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in \mathbf{R}$ ，满足 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个＂$S$ 点＂．
（1）证明：函数 $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^{2}+2 x-2$ 不存在＂$S$ 点＂；
（2）若函数 $f(x)=a x^{2}-1$ 与 $g(x)=\ln x$ 存在＂$S$ 点＂，求实数 $a$ 的值；
（3）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a, g(x)=\frac{b \mathrm{e}^{x}}{x}$ ．对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内存在＂ S 点＂，并说明理由．

20．（本小题满分16分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $\boldsymbol{d}$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 $b_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列．
（1）设 $a_{1}=0, b_{1}=1, q=2$ ，若 $\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1}$ 对 $n=1,2,3,4$ 均成立，求 $d$ 的取值范围；
（2）若 $a_{1}=b_{1}>0, m \in \mathbf{N}^{*}, q \in(1, \sqrt[m]{2}]$ ，证明：存在 $d \in \mathbf{R}$ ，使得 $\left|a_{n}-b_{n}\right| \leq b_{1}$ 对 $n=2,3, \cdots, m+1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}, m, q$ 表示）。