2017 上海卷 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{1,2,3\}$ ，集合 $B=\{3,4\}$ ，则 $A \cup B=$ $\_\_\_\_$ ；

2．不等式 $|x-1|<3$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ；

3．若复数 $z$ 满足 $2 \bar{z}-1=3+6 i$（ $i$ 是虚数单位），则 $z=$ $\_\_\_\_$ ；

4．若 $\cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ；

5．若关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=4 \\ 3 x+a y=6\end{array}\right.$ 无解，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ ；

6．若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项的和为 25 ，则 $a_{1}+a_{5}=$ $\_\_\_\_$ ；

7．若 $P , Q$ 是圆 $x^{2}+y^{2}-2 x+4 y+4=0$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ；

8．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3^{n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{a_{n}}=$ $\_\_\_\_$ ；

9．若 $\left(x+\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的二项展开式的各项系数之和为 729 ，则该展开式中常数项的值为 $\_\_\_\_$ ；

10．设椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，点 $P$ 在该椭圆上，则使得 $\triangle F_{1} F_{2} P$ 是等腰三角形的点 $P$ 的个数是 $\_\_\_\_$ ；

11．设 $a_{1} , a_{2} , \cdots , a_{6}$ 为 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ 的一个排列，则满足 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{3}-a_{4}\right|+ \left|a_{5}-a_{6}\right|=3$ 的不同排列的个数为 $\_\_\_\_$ ；

12．设 $a , b \in R$ ，若函数 $f(x)=x+\frac{a}{x}+b$ 在区间 $(1,2)$ 上有两个不同的零点，则 $f(1)$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ；

二．选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）

13. 函数 2( ) ( 1)$f x x= -$的单调递增区间是（ ）

14．设 $a \in R$ ，＂$a>0$＂是＂$\frac{1}{a}>0$＂的（ ）条件

15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是

16．如图所示，正八边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的边长为 2 ，若 $P$ 为该正八边形边上的动点，则 $\overrightarrow{A_{1} A_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{1} P}$ 的取值范围为（ ）

17．如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=B C=2, A A_{1}=3$ ；
（1）求四棱锥 $A_{1}-A B C D$ 的体积；
（2）求异面直线 $A_{1} C$ 与 $D D_{1}$ 所成角的大小；

18．设 $a \in R$ ，函数 $f(x)=\frac{2^{x}+a}{2^{x}+1}$ ；
（1）求 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 为奇函数；
（2）若 $f(x)<\frac{a+2}{2}$ 对任意 $x \in R$ 成立，求 $a$ 的取值范围；

19．某景区欲建造两条圆形观景步道 $M_{1} , M_{2}$（宽度忽略不计），如图所示，已知 $A B \perp A C, A B=A C=A D=60$（单位：米），要求圆 $M_{1}$ 与 $A B , A D$ 分别相切于点 $B , D$ ，圆 $M_{2}$ 与 $A C , A D$ 分别相切于点 $C , D$ ；
（1）若 $\angle B A D=60^{\circ}$ ，求圆 $M_{1} , M_{2}$ 的半径（结果精确到 0.1 米）
（2）若观景步道 $M_{1}$ 与 $M_{2}$ 的造价分别为每米 0.8 千元与每米 0.9 千元，如何设计圆 $M_{1}$ 、
$M_{2}$ 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到 0.1 千元）

20．已知双曲线 $\Gamma: x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，直线 $l: y=k x+m(k m \neq 0), l$ 与 $\Gamma$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，$P^{\prime}$ 为 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点，直线 $P^{\prime} Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N(0, n)$ ；
（1）若点 $(2,0)$ 是 $\Gamma$ 的一个焦点，求 $\Gamma$ 的渐近线方程；
（2）若 $b=1$ ，点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$ ，且 $\overrightarrow{N P^{\prime}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P^{\prime} Q}$ ，求 $k$ 的值；
（3）若 $m=2$ ，求 $n$ 关于 $b$ 的表达式；

21．已知函数 $f(x)=\log _{2} \frac{1+x}{1-x}$ ；
（1）解方程 $f(x)=1$ ；
②设 $x \in(-1,1), a \in(1,+\infty)$ ，证明：$\frac{a x-1}{a-x} \in(-1,1)$ ，且 $f\left(\frac{a x-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\left(\frac{1}{a}\right)$ ；
③设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 中，$x_{1} \in(-1,1), x_{n+1}=(-1)^{n+1} \frac{3 x_{n}-1}{3-x_{n}}, n \in N^{*}$ ，求 $x_{1}$ 的取值范围，使得 $x_{3} \geq x_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立；