2020 上海卷 数学　·　真题与答案解析

1．集合 $A=\{1,3\}, B=\{1,2, a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

2．不等式 $\frac{1}{x}>3$ 的解集为 $\_\_\_\_$

3．函数 $y=\tan 2 x$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$

4．已知复数 $z$ 满足 $z+2 \bar{z}=6+\mathrm{i}$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$

5．已知 $3 \sin 2 x=2 \sin x, x \in(0, \pi)$ ，则 $x=$ $\_\_\_\_$

6．若函数 $y=a \cdot 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}$ 为偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$

7．已知直线 $l_{1}: x+a y=1, l_{2}: a x+y=1$ ，若 $l / / l_{2} l$ ，则 $l$ 与 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$

9．三角形 $A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 中点，$A B=2, B C=3, A C=4$ ，则 $A \vec{D} \cdot \vec{A} B$ $\_\_\_\_$

10．已知 $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}, a , b \in A$ ，则 $|a|<|b|$ 的情况有 $\_\_\_\_$种

11．已知 $A_{1} , A_{2} , A_{3} , A ,{ }_{4} A$ 五个点，满足 ${ }_{n} A_{n} A \xrightarrow[{ }_{n+1} A{ }_{n+2} A]{ }=0 \quad(n=1,2,3)$ ， $\left|\overrightarrow{A_{n} A_{n+1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}\right|=n+1 \quad(n=1,2,3)$ ，则 $A \vec{A} A \mid$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

12．已知 $f(x)=\sqrt{x-1}$ ，其反函数为 $f^{-1}(x)$ ，若 $f^{-1}(x)-a=f(x+a)$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$

二．选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）

13．计算： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^{n}+5^{n}}{3}=$
A． 3
${ }_{n-1}+5^{n-1} 5$
C．$\frac{3}{5}$
D． 5

14．＂$\alpha=\beta$＂是＂ $\sin { }^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1$＂的

15．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，作垂直于 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , B$ 两点，作垂直于 $y$ 轴的垂线交椭圆于 $C , D$ 两点，且 $A B=C D$ ，两垂线相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是

16．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为实数，对任意 $n \in \quad \mathbf{N}^{*}$ 满足 $a_{n+3}=a_{n}$ ，且行列式 $\quad\left|\begin{array}{cc}a_{n} & a_{n^{+}}{ }_{1} \\ a_{n+2} & a_{n+3}\end{array}\right|=c$ 为定值，则下列选项中不可能的是（ ）

17．已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．

18．已知各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1$ ．
（1）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$S_{10}=70$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}=\frac{1}{8}$ ，求满足 $S_{n}>100 a_{n}$ 时 $n$ 的最小值．

19．有一条长为 120 米的步行道 $O A, A$ 是垃圾投放点 $\omega_{1}$ ，若以 $O$ 为原点，$O A$ 为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系，设点 $B(x, 0)$ ，现要建设另一座垃圾投放点 $\omega_{2}(t, 0)$ ，函数 $f_{t}(x)$ 表示与 $B$ 点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若 $t=60$ ，求 $f_{60}(10) , f_{60}(80) , f_{60}(95)$ 的值，并写出 $f_{0}(x)$ 的函数解析式；
（2）若可以通过 $f_{t}(x)$ 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．
问：垃圾投放点 $\omega_{2}$ 建在何处才能比建在中点时更加便利？

20．已知抛物线 $y^{2}=x$ 上的动点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，过 $M$ 分别作两条直线交抛物线于 $P , Q$ 两点，交直线 $x=t$ 于 $A , B$ 两点．
（1）若点 $M$ 纵坐标为 $\sqrt{2}$ ，求 $M$ 与焦点的距离；
（2）若 $t=-1, P(1,1), Q(1,-1)$ ，求证：$y_{A} \cdot y_{B}$ 为常数；
（3）是否存在 $t$ ，使得 $y_{A} \cdot y_{B}=1$ 且 $y_{P} \cdot \underline{y}$ 为常数？若存在，求出 $t$ 的所有可能值，若不存在，请说明理由．

21．已知非空集合 $A \subseteq \mathbf{R}$ ，函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $t \in A$ 且 $x \in D$ ，不等式 $f(x) \leq f(x+t)$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 具有 $A$ 性质．
①当 $A=\{-1\}$ ，判断 $f(x)=-x , g(x)=2 x$ 是否具有 $A$ 性质；
②当 $A=(0,1), f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[a,+\infty)$ ，若 $f(x)$ 具有 $A$ 性质，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $A=\{-2, m\}, ~ m \in \mathbf{Z}$ ，若 $D$ 为整数集且具有 $A$ 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 $m$ 的值．