2020 新课标 III 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{N}^{*}, y \geq x\right\}, B=\{(x, y) \mid x+y=8\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为

2．复数 $\frac{1}{1-3 \mathrm{i}}$ 的虚部是

3．在一组样本数据中， $1,2,3,4$ 出现的频率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ ，且 $\sum_{i=1}^{4} p_{i}=1$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是

4) \times 0.1+(2+3) \times 0.4=2.5$ ，
方差为 $s_{A}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.1+(2-2.5)^{2} \times 0.4+(3-2.5)^{2} \times 0.4+(4-2.5)^{2} \times 0.1=0.65$ ；
对于 B 选项，该组数据的平均数为 $\overline{x_{B}}=(1+4) \times 0.4+(2+3) \times 0.1=2.5$ ，
方差为 $s_{B}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.4+(2-2.5)^{2} \times 0.1+(3-2.5)^{2} \times 0.1+(4-2.5)^{2} \times 0.4=1.85$ ；
对于 C 选项，该组数据的平均数为 $\overline{x_{C}}=(1+4) \times 0.2+(2+3) \times 0.3=2.5$ ，
方差为 $s_{C}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.2+(2-2.5)^{2} \times 0.3+(3-2.5)^{2} \times 0.3+(4-2.5)^{2} \times 0.2=1.05$ ；
对于 D 选项，该组数据的平均数为 $\overline{x_{D}}=(1+4) \times 0.3+(2+3) \times 0.2=2.5$ ，
方差为 $s_{D}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.3+(2-2.5)^{2} \times 0.2+(3-2.5)^{2} \times 0.2+(4-2.5)^{2} \times 0.3=1.45$ ．
因此，B选项这一组的标准差最大．
故选：B．

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（ ）（ $\ln 19 \approx 3$ ）

5．设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于 $D, E$ 两点，若 $O D \perp O E$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（ ）

6．已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=5,|b|=6, a \cdot b=-6$ ，则 $\cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle=$（）

7．在 $\triangle A B C$ 中， $\cos C=\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$ ，则 $\cos B=$（ ）

8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

9．已知 $2 \tan \theta-\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=7$ ，则 $\tan \theta=$（ ）

10．若直线 $l$ 与曲线 $y=\sqrt{x}$ 和 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$ 都相切，则 $l$ 的方程为（ ）

11．设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\sqrt{5} . P$ 是 $C$上一点，且 $F_{1} P \perp F_{2} P$ ．若 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 4 ，则 $a=$

12．已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$ ．设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$ ，则

13．若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq 0, \\ 2 x-y \geq 0, \\ x \leq 1,\end{array}\right.$ 则 $z=3 x+2 y$ 的最大值为

14．$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中常数项是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

15．已知圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 $\_\_\_\_$ ．

16．关于函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①$f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称．
②$f(x)$ 的图像关于原点对称．
③$f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称．
④$f(x)$ 的最小值为 2 ．
其中所有真命题的序号是

17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

18．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次 ，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 $1,2,3,4$ 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天＂空气质量好＂；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天＂空气质量不好＂。根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有 $95 \%$ 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

19．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上，且 $2 D E=E D_{1}$ ， $B F=2 F B_{1}$.

（1）证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；
（2）若 $A B=2, A D=1, A A_{1}=3$ ，求二面角 $A-E F-A_{1}$ 的正弦值．

20．已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}, A, B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|, B P \perp B Q$ ，求 $\triangle A P Q$ 的面积

21．设函数 $f(x)=x^{3}+b x+c$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．
（1）求 $b$ ．
（2）若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 ．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2-t-t^{2} \\ y=2-3 t+t^{2}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数且 $\left.t \neq 1\right), C$ 与坐标轴交于 $A , B$ 两点．
（1）求 $|A B|$ ；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 $A B$ 的极坐标方程．

23．设 $a, b, c \in R, a+b+c=0, a b c=1$ ．

（1）证明：$a b+b c+c a<0$ ；
（2）用max $\{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 中的最大值，证明： $\max \{a, b, c\} \geq \sqrt[3]{4}$ ．