2010 上海卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．不等式 $\frac{2-x}{x+4}>0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $(-4,2)$。

2．若复数 $z=1-2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z}+z=$ $\_\_\_\_$ 6－2i。

3. 动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x+2=0$ 的距离相等，则 $P$ 的轨迹方程为 $y^{2}=8 x$ 。

4．行列式 $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{3} & \sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{6}\end{array}\right|$ 的值是 $\_\_\_\_$ 0。

5．圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+4=0$ 的圆心到直线 $1: 3 x+4 y+4=0$ 的距离 $d=$ $\_\_\_\_$ 3。

6．随机变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的概率分布率由下图给出： | $\mathbf{x}$ | 7 | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{1 0}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{P}(\xi=x)$ | 0.3 | 0.35 | 0.2 | 0.15 | 则随机变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的均值是 $\_\_\_\_$ 8.2

8．对任意不等于 1 的正数 a ，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{a}(x+3)$ 的反函数的图像都经过点 P ，则点 P 的坐标是 $\_\_\_\_$ $(0,-2)$

9．从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为＂抽得红桃 K ＂，事件 B 为＂抽得为黑桃＂，则概率 $P(A \cup B)==\frac{7}{26}$（结果用最简分数表示）

10．在 $n$ 行 n 列矩阵 $\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n & 1 & 2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-3 & n-2 & n-1\end{array}\right)$ 中， 记位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{i j}(i, j=1,2 \cdots, n)$ 。当 $n=9$ 时，$a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{99}=$ $\_\_\_\_$ 45

11. 将直线 $l_{2}: n x+y-n=0 , l_{3}: x+n y-n=0 \quad\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right) \quad \mathrm{x}$ 轴  、 y 轴围成的封闭图形的面积记为 $S_{n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=$ $\_\_\_\_$ 1。

12．如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 0 ，剪去 $\triangle A O B$ ，将剩余部分沿 $0 \mathrm{C} , 0 \mathrm{D}$ 折叠，使 $0 \mathrm{~A} , 0 \mathrm{~B}$ 重合，则以 $\mathrm{A} ,(\mathrm{~B}) , \mathrm{C} , \mathrm{D} , 0$ 为顶点的四面体的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

13。如图所示，直线 $\mathrm{x}=2$ 与双曲线 $\Gamma: \frac{\lambda^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的渐近线交于 $E_{1}, E_{2}^{A}$ 两点，记 $\overrightarrow{O E_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{O E_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}$ ，任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 P ，若 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{a e_{1}},+\overrightarrow{b e_{2}}(a , b \in R)$ ，则 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 满足的一个等式是 $\_\_\_\_$ $4 \mathrm{ab}=1$

14．以集合 $\mathrm{U}=\{a, b, c, d\}$ 的子集中选出 2 个不同的子集，需同时满足以下两个条件： ①$a , b$ 都要选出； ②对选出的任意两个子集 A 和 B ，必有 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 或 $\mathrm{B} \subseteq \mathrm{A}$ ，那么共有 $\_\_\_\_$ 36种不同的选法。

15．＂$x=2 k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in Z)$＂是＂ $\tan x=1$＂成立的 ［答］（ A ）

16．直线 $l$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2 \mathrm{t} \\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\end{array}(t \in R)\right.$ ，则 1 的方向向量是 $\bar{d}$ 可以是 【答】（C）

17．若 $x_{0}$ 是方程 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=x^{\frac{1}{3}}$ 的解，则 $x_{0}$ 属于区间【答】（C）

18．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 $\frac{1}{13}, \frac{1}{11}, \frac{1}{5}$ ，则此人能 【答】（D）

20．（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第一个小题满分 5 分，第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}=n-5 a_{n}-85, n \in N^{*}$ （1）证明：$\left\{a_{n}-1\right\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的通项公式，并求出 n 为何值时，$S_{n}$ 取得最小值，并说明理由。 （2）$S_{n}=n+75\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-90 \quad \mathrm{n}=15$ 取得最小值

22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 1 0 分。 若实数 $x , y , m$ 满足 $|x-m|>|y-m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 远离 $m$ ． （1）若 $x^{2}-1$ 比 1 远离 0 ，求 $x$ 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数 $a , b$ ，证明：$a^{3}+b^{3}$ 比 $a^{2} b+a b^{2}$ 远离 $2 a b \sqrt{a b}$ ； （3）已知函数 $f(x)$ 的定义域 $\mathrm{D}=\left\{\mathrm{x} \left\lvert\, \mathrm{x} \neq \frac{\mathrm{k} \pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right., \mathrm{k} \in \mathrm{Z}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}\right\}$ 。任取 $x \in D, f(x)$ 等于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 中远离 0 的那个值。写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．