随机事件的概率　·　历年高考数学真题与解析

6．有 50 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为

5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15 ，则不用现金支付的概率为（）

2．（5分）（2016 • 天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲不输的概率为（）

16．（本小题满分 12 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 $1,2,3$，这三张卡片除标记的数字

外完全相同。随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a, ~ b, ~ c$．
（I）求＂抽取的卡片上的数字满足 $a+b=c$＂的概率；
（II）求＂抽取的卡片上的数字 $a, b, c$ 不完全相同＂的概率．

17．（本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
$(a, b),(a, \vec{b}),(a, b),(\vec{a}, b),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, b),(a, \vec{b})$,
$(\vec{a}, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, b),(a, b)$

其中 $a, \vec{a}$ 分别表示甲组研发成功和失败；$b, \vec{b}$ 分别表示乙组研发成功和失败。
（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记 1 分，否记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．

17．某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，现安排甲组研发新产品 $A$ ，乙组研发新产品 $B$ ．设甲，乙两组的研发是相互独立的．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 $A$ 研发成功，预计企业可获得 120 万元，若新产品 $B$ 研发成功，预计企业可获得利润 100 万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望。

19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n ．如果 $\mathrm{n}=3$ ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $\mathrm{n}=4$ ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 $50 \%$ ，即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（I）求这批产品通过检验的概率；
（II）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

17．（本小题满分 12 分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示：

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 $55 \%$ 。
（1）确定 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．（将频率视为概率）

18．（本小题满分 12 分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X （单位：毫米）有关，据统计，当 $\mathrm{X}=70$ 时， $\mathrm{Y}=460$ ； X 每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为： $140,110,160,70,200,160,140,160,220,200$ ， $110,160,160,200,140,110,160,220,140,160$.
（I）完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

（II）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 （万千瓦时）或超过 53 0 （万千瓦时）的概率．

19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 ，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

8．（5分）（2011•浙江）从已有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是

11．一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方

法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 $p_{1}$和 $p_{2}$ ，则

18．（本小题满分 12 分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道。若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。
（1）求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率；
（2）求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率．

18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

20．（12分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}$ 的概率都是 P ，电流能通过 $\mathrm{T}_{4}$ 的概率是 0.9 ，电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999

（I）求 $P$ ；
（II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率．

9．从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为＂抽得红桃 K ＂，事件 B 为＂抽得为黑桃＂，则概率 $P(A \cup B)==\frac{7}{26}$（结果用最简分数表示）

18．（12 分）（2008－山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中 3 人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 $\xi$ 表示甲队的总得分．
（I）求随机变量 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（II）用 A 表示＂甲、乙两个队总得分之和等于 3 ＂这一事件，用 B 表示＂甲队总得分大于乙队总得分＂这一事件，求 $\mathrm{P}(\mathrm{AB})$ 。

18．（12分）（2008 • 陕西）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球， 3 个黑球和 4 个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。
（I）连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
（II）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率。

（19）（本题 14 分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有 10 个球，从中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。求：
（I）从中任意摸出 2 个球，得到的数是黑球的概率；
（II）袋中白球的个数。