2015 地方卷 · 理 数学

已知 $\frac{(1-i)^{2}}{z}=1+i$（ $i$ 为虚数单位），则复数 $z=$

设 $A, B$ 是两个集合，则＂$A \cap B=A$＂是＂$A \subseteq B$＂的

执行如图所示的程序框图，如果输入 $n=3$，则输出的 $S=$

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq-1 \\ 2 x-y \leq 1 \\ y \leq 1\end{array}\right.$ 则 $z=3 x-y$ 的最小值为（ ）。

设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$，则 $f(x)$ 是

在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ 的密度曲线）的点的个数的估计值为

已知点 $A, B, C$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上运动，且 $A B \perp B C$，若点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$，则 $|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}|$的最大值为

将函数 $f(x)=\sin 2 x$ 的图像向右平移 $\varphi\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图像，若对满足 $\left|f\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|=2$ 的 $x_{1}, x_{2}$ ，有 $\left|x_{1}-x_{2}\right|_{\text {min }}=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\varphi=()$

$\int_{0}^{2}(x-1) d x=$ $\_\_\_\_$．

在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 $1 \sim 35$ 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间［139，151］上的运动员人数是 $\_\_\_\_$ ．

设 $F$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$，使线段 $P F$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$．

设 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，且 $3 S_{1}, 2 S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{n}=$

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{3}, x \leq a \\ x^{2}, x>a\end{array}\right.$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$，且 $B$ 为针角．
（1）证明：$B-A=\frac{\pi}{2}$；
（2）求 $\sin A+\sin C$ 的取值范围．

如图，已知四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，$A A_{1}=6$，且 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, \mathrm{BC}$ 上。
（1）若 P 是 $D D_{1}$ 的中点，证明：$A B_{1} \perp P Q$；
（2）若 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$，二面角 $P-Q D-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，求四面体 $A D P Q$ 的体积．

已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=e^{a x} \sin x(x \in[0,+\infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点，证

明：
（1）数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立．